46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; $\overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

b) Vì $\vec v = ( - 1;2;0) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ nên $\vec v$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

a) Từ phương trình tham số, ta có $\vec a = (6;2;4)$ là một vectơ chỉ phương của $d$. Chọn $\vec b = \frac{1}{2}\vec a = (3;1;2)$, ta có $\vec b$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$.

b) Thay $t = 0$ vào phương trình tham số của $d$, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2 + 6.0}\\{y = 11 + 2.0}\\{z = 4.0}\end{array}{\rm{ hay }}\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2}\\{y = 11}\\{z = 0.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $A( - 2;11;0)$.

Tương tự, với $t = 2$ thì $B(10;15;8)$, với $t = - 3$ thì $C( - 20;5; - 12)$.

Ta có phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = 3 - 7t}\end{array}} \right.$

Thay $x = 1$ vào phương trình $x = 1 + 4t$, ta được $1 = 1 + 4t$, suy ra $t = 0$.

Thay $y = 1$ và $t = 0$ vào phương trình $y = 2 + 5t$, ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng $d$ không đi qua điểm $A$.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (2;4;3)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 5 + 3t}\end{array}} \right.$và phương trình chính tắc: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{3}.$

Ta có $\overrightarrow {AB} = (6;3;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .

$\overrightarrow {A{A^\prime }} = (3;7;8)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }$ vì ${\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime }//{\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }$.

$\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }$ vi ${\rm{AC}}//{{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }$.

a) Đường thẳng d nhận $\vec a = (8; - 4;12)$ làm một vectơ chỉ phương.

Có $\vec b = \frac{1}{4}\vec a = (2; - 1;3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

b) Cho $t = 0$, ta có ${\rm{A}}( - 1;0;3)$.

Cho t $= 1$, ta có ${\rm{B}}(7; - 4;15)$.

Cho t $= 2$, ta có ${\rm{C}}(15; - 8;27)$.

Vậy 3 điểm ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}$ là ba điểm thuộc d .

Đường thẳng $B{C^\prime }$ nhận các vectơ $\overline {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }B} ,\overrightarrow {A{D^\prime },} \overline {{D^\prime }A}$ là các vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm ${\rm{A}}(5;0; - 7)$ và nhận $\vec v = (9;0; - 2)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5 + 9t}\\{y = 0}\\{z = - 7 - 2t}\end{array}} \right.$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 4 = 5 + 9t}\\{0 = 0}\\{ - 5 = - 7 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = - 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (luôn đúng)}}{\rm{. }}$Vậy điểm ${\rm{M}} \in {\rm{d}}$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (2;3;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

b) Đường thẳng d đi qua điểm ${\rm{A}}(2;2;1)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = (2;3;2)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$ và phương trình chính tắc là $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$

a) Đường thẳng a đi qua điểm ${\rm{M}}(0; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1; - 5;0)$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = - 2 - 5t}\\{z = - 3}\end{array}} \right.$

b) có $\overrightarrow {AB} = (3; - 2;3)$.

Đường thẳng a đi qua hai điểm ${\rm{A}}(0;0;2)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = (3; - 2;3)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3t}\\{y = - 2t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.$.

a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 3t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 - 5t}\end{array}{\rm{ ( }}} \right.{\rm{t là tham số )}}{\rm{. }}$b) Toạ độ của một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec u = (2; - 7;9)$.

Ứng với $t = 0$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2 \cdot 0 = - 1}\\{y = 5 - 7 \cdot 0 = 5}\\{z = 9 \cdot 0 = 0.}\end{array}} \right.$. Suy ra điểm $B( - 1;5;0)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

Ta có $\vec n = (3; - 1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vi đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng P ( nên đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ $\vec n$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 - t\quad {\rm{ (t là tham số)}}{\rm{. }}}\\{z = - 4 + 2t}\end{array}} \right.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;3;6)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (9;2;13)$ là:

$\frac{{x - 1}}{9} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{{13}}{\rm{. }}$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = 6 + 9t}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = \frac{{x + 1}}{2}}\\{t = \frac{{y - 3}}{{ - 5}}}\\{t = \frac{{z - 6}}{9}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z - 6}}{9}$

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow {AB} = (2;3;6)$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm ${\rm{A}}(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = (2;3;6)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 3t{\rm{ (t là tham số )}}{\rm{. }}}\\{z = 3 + 6t}\end{array}} \right.$

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm ${\rm{A}}(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = (2;3;6)$ là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}$

- Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{{x - 4}}{{5 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{8 - 1}} = \frac{{z - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{7} = \frac{{z - 2}}{4}.$

- Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 7t}\\{z = 2 + 4t}\end{array}{\rm{ }}} \right.$ (t là tham số)

Phương trình chính tắc của đường thẳng OM là:

$\frac{{x - 0}}{{a - 0}} = \frac{{y - 0}}{{b - 0}} = \frac{{z - 0}}{{c - 0}} \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

a) Đường thẳng b đi qua điểm ${\rm{M}}(1; - 2; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (5; - 3;2)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}$.

b) $\overrightarrow {AB} = (2; - 6;4)$.

Đường thẳng b đi qua hai điểm ${\rm{A}}(4;7;1)$ và nhận $\vec a = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; - 3;2)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}$

a) Ta có đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(3; - 3;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec a = (1;3;7)$

b) Phương trình tham số của d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 2 + 7t}\end{array}} \right.$

a) Do $\Delta$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 3t}\\{y = 1 + 0t}\\{z = 0 + 2t}\end{array}} \right.$ nên điểm $M( - 1;1;0)$ thuộc $\Delta$ và $\vec u(3;0;2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Đường thẳng ${\Delta ^\prime }$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 3s}\\{y = 1}\\{z = 2s.}\end{array}} \right.$

a) Ta có ${\rm{A}}(2;0;1),{\rm{B}}(3;3;2)$ là các điếm thuộc $\Delta$.

Có $\vec u = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Phương trình tham số của đường thắng đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và có vectơ chí phương $\vec v = (1;3;1)$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.$

a) Với ${\rm{t}} = 0$ ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.$. Suy ra ${\rm{A}}(1;3; - 1) \in \Delta$. Với ${\rm{t}} = 1$ ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.$. Suy ra ${\rm{B}}(0;5;2) \in \Delta$.

b) Thay tọa độ điểm ${\rm{C}}(6; - 7; - 16)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\{\begin{matrix}6=1-t \\ -7=3+2t \\ -16=-1+3t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}t=-5 \\ t=-5 \\ t=-5\end{matrix}\Leftrightarrow t=-5.\text{Do dó, C}\in Δ\text{.}$

Thay tọa độ điểm ${\rm{D}}( - 3;11; - 11)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\{\begin{matrix}-3=1-t \\ 11=3+2t \\ -11=-1+3t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}t=4 \\ t=4 \\ t=-\frac{10}{3}\end{matrix}\text{(vô lí). Do dó, D}\notin Δ\text{.}$

Vậy trong hai điểm C và D , chỉ có điểm C thuộc đường thẳng $\Delta$.

a)+ Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${\rm{A}}( - 1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = ( - 2;3;4)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 - 2t}\\{y = 3 + 3t}\\{z = 2 + 4t}\end{array}\quad } \right.$ (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${\rm{A}}( - 1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = ( - 2;3;4)$ là: $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}$.

b) Ta có $\overrightarrow {MN} = (1;1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

+ Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + {t^\prime }}\\{y = - 1 + {t^\prime }({\rm{t' là tham số}}).}\\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.$

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;0)$. Giá của $\vec n = (3;2;0)$ và $\Delta$ cùng vuông góc với $(\alpha )$ nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó $\Delta$ nhận $\vec n = (3;2;0)$ làm một vectơ chi phương.

Vậy $\Delta$ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 3t}\\{y = 4 + 2t}\\{z = 5.}\end{array}} \right.$

Nhận xét. Đường thẳng $\Delta$ trong Vỉ dụ 5 không có phương trình chính tắc.

Ta có mặt phắng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là $\vec i = (1;0;0)$

Giá của vectơ $\vec i$ và $\Delta$ cùng vuông góc với mặt phắng Oyz nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.

Do đó $\Delta$ nhận $\vec i = (1;0;0)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điếm ${\rm{M}}(2; - 1;3)$ và $\vec i = (1;0;0)$ làm một vectơ chí phương có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2;1;3)$.

Vi $\Delta //{\rm{d}}$ nên đường thắng $\Delta$ nhận $\vec u = (2;1;3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thắng $\Delta$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (2;1;3)$ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t\quad {\rm{ v\`a ptct l\`a : }}\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.$

Mặt phắng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1;3; - 1)$

Vi $\Delta \bot ({\rm{P}})$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $({\rm{P}})$ làm vectơ chí phương.

Đường thắng $\Delta$ đi qua ${\rm{A}}(2; - 1;4)$, có vectơ chỉ phương $\vec u = (1;3; - 1)$ có phương trình tham số là: $\{\begin{matrix}x=2+t \\ y=-1+3t\text{và phương trình chính tắcc là:}\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-4}{-1} \\ z=4-t\end{matrix}$

${\rm{ Có }}\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 5;5)$

Đường thắng D đi qua hai điếm ${\rm{A}}(2;3; - 1)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 5;5)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 - t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = - 1 + 5t}\end{array}} \right.$ và phương trình chính tắc là: $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}$

a) Phương trình tham số của $d$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = - 2 - t(t \in \mathbb{R}){\rm{. }}}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$

b) Điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi có giá trị $t$ thoả mãn hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} = 2 + t}\\{{y_0} = - 2 - t}\\{{z_0} = 1 + 2t.}\end{array}} \right.$

Ta có:

- Với $A(3; - 3;3)$, ta xét $\{\begin{matrix}3=2+t \\ -3=-2-t\text{. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất}t=1 \\ 3=1+2t\end{matrix}$ nên $A$ thuộc $d$ ứng với $t = 1$.

- Với $B(1; - 1;1)$, ta xét $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 = 2 + t}\\{ - 1 = - 2 - t}\\{1 = 1 + 2t}\end{array}} \right.$. Hệ phương trình này vô nghiệm nên $B$ không thuộc $d$.

a) Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec a = (2; - 3;4)$.

b) Với $t = 0$, thay $t = 0$ vào phương trình của $d$, ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2.0 = - 1}\\{y = 3 - 3.0 = 3}\\{z = 5 + 4.0 = 5.}\end{array}} \right.$

Vậy điểm ${M_1}( - 1;3;5)$ thuộc $d$ ứng với $t = 0$.

Tương tự với $t = - 1$ và $t = 2$, ta có các điểm thuộc $d$ tương ứng là ${M_2}( - 3;6;1),{M_3}(3; - 3;13)$.

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là $\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}$.

b) Từ phương trình tham số của $d$, ta có $d$ đi qua điểm $M(2; - 1;3)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec a = ( - 1;2; - 3)$.

Suy ra, phương trình chính tắc của $d$ là $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}$.

a) Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec a = (2;3;6)$.

b) Một điểm thuộc $d$ khi toạ độ của điểm đó thoả mãn phương trình chính tắc của $d$ :

$\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{6}\left( {^*} \right)$

Thay toạ độ của các điểm A, B vào phương trình chính tắc (*). Ta có:

- Điểm $A(1; - 5; - 6)$ thoả mãn (*) vì $\frac{{1 - 3}}{2} = \frac{{ - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 6}}{6}$ nên $A$ thuộc $d$;

- Điểm $B(3; - 2;1)$ không thoả mãn vì $\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{3} \ne \frac{1}{6}$ nên $B$ không thuộc $d$.

Phương trình tham số của AB là: $\{\begin{matrix}x=4+(3-4)t \\ y=2+(-2-2)t \\ z=-1+(2-(-1))t\end{matrix}\ (t\in ℝ)\text{hay}\{\begin{matrix}x=4-t \\ y=2-4t \\ z=-1+3t\end{matrix}\ (t\in ℝ).$

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{x-4}{3-4}=\frac{y-2}{-2-2}=\frac{z-(-1)}{2-(-1)}\text{hay}\frac{x-4}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{3}\text{.}$

a) Vì $M$ thuộc $\Delta$ nên $M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})$.

Ta có: $2 - 3t = 5$, suy ra $t = - 1$. Do đó $4|t = 4|( - 1) = 3{,}5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7$. Vậy $M(5;3;7)$.

b) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t = - 2} \right.$. Suy ra tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

c) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Suy ra không tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $P( - 1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

Do $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\Delta //{\Delta ^\prime }$ nên $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ '.

Phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta ^\prime }$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$ ( ${t^\prime }$ là tham số).

d) Vì $I$ thuộc $\Delta$ nên $I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})$. Mà $I$ thuộc $(P)$ nên $(2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2$. Vậy $I( - 4;6;1)$.

a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta$ lần lượt là:

$\{\begin{matrix}x=2-2t \\ y=-5+3t \\ z=7+4t\end{matrix}\text{(}t\text{là tham số),}\frac{x-2}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z-7}{4}.$

b) Ta có: $\overrightarrow {MN} = (3;5; - 1)$ là một vectơ chi phương của $\Delta$. Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta$ lần lượt là:

$\{\begin{matrix}x=-1+3t \\ y=5t \\ z=4-t\end{matrix}\text{(}t\text{là tham số),}\frac{x+1}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z-4}{-1}\text{.}$

c) Vectơ $\vec n = (2; - 5;6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ mà $\Delta \bot (P)$ nên $\vec n = (2; - 5;6)$ là một vectơ chi phương của đường thẳng $\Delta$. Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta$ lần lượt là:

$\{\begin{matrix}x=3+2t \\ y=2-5t \\ z=-1+6t\end{matrix}\text{(}t\text{là tham số),}\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+1}{6}\text{.}$