45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ và bằng vectơ $\overrightarrow {AD}$ là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 ,$ chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z$.

a) $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z$.

b) $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z$.

c) Góc giữa vectơ $\overrightarrow {BA'}$ và vectơ $\overrightarrow {A'C'}$ bằng $60^\circ$.

d) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, độ dài vectơ $\overrightarrow {A'M}$ bằng $\frac{{3a}}{2}$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0;\, - 2;\,1} \right);\,B\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right);\,C\left( {3;\,1;\, - 2} \right)$.

a) Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $A'\left( {0;0;1} \right)$.

b) Ba điểm $A,B,C$ lập thành tam giác vuông tại điểm $A$.

c) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ của $D\left( {5;1;4} \right)$.

d) Trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( {\frac{1}{3};1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0$. Xét các vectơ $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$.

a) $\overrightarrow u$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

b) $\overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

c) $\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}$.

d) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ xấp xỉ bằng $63^\circ$.

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị tính bằng mét). Bạn Huyền quan sát và phát hiện một con chim đang bay với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A\left( {20;40;30} \right)$ đến điểm $B\left( {40;50;50} \right)$ trong vòng 4 phút. Nếu con chim bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 2 phút con chim ở vị trí $C\left( {a;b;c} \right)$. Tổng $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'.$ Đặt $\vec a = \overrightarrow {AA'} ,\vec b = \overrightarrow {AB} ,\vec c = \overrightarrow {AC} .$ Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow {B'C}$ theo các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c.$

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?