4 bài tập Dấu nghiệm của phương trình bậc hai (có lời giải)

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\Delta ^\prime } = {{(m - 1)}^2} - (m + 1) = {m^2} - 3m = m(m - 3)}\\{s = 2(m - 1);P = m + 1}\end{array}$

a) (1) có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

b) (1) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m(m - 3) > 0}\\{2(m - 1) > 0 \Leftrightarrow m > 1}\\{m + 1 > 0}\end{array}} \right.$

c) Có các trường hợp xảy ra:

i) (1) Có nghiệm kép dương: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\Delta ^\prime } = 0}\\{ - \frac{b}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m(m - 3) = 0}\\{m - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.$

ii) (1) có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

iii) (1) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

(1) có 1 nghiệm ${x_1} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Khi đó: (1) $\Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 4 < 0}\end{array}} \right.$

Vậy $m = 3$ hoặc $m = - 1$ thì phương trình có đúng 1 nghiệm dương.

Huớng dẫn: Xét $ac < 0 \Leftrightarrow - 4ac > 0 \Rightarrow \;{b^2} - 4ac > {b^2} \ge 0$. Vậy $\Delta > 0$. Lại có $ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0 \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0$.

Vậy hai nghiệm trái dấu.

Ta có: $a = 1;b = 4;c = m$. Phương trình có hai nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow \;m < 0$.

Nhận xét: Tìm $m$ để phương trị̀nh có hai nghiệm phân biệt âm: $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\Delta ' > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\\{S = - \frac{b}{a} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 - m > 0}\\{m > 0}\\{ - 4 < 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 4} \right.} \right.$

Ta có: $a = 1;b = - 2 \Rightarrow b' = - 1;c = m$. Vậy $\Delta ' = 1 - m$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\Delta ' > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\\{S = - \frac{b}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 - m > 0}\\{m > 0}\\{2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 1} \right.} \right.$

Hướng dẫn: ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 1 - 1 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1$. Vậy ${x_1} - 1$ và ${x_2} - 1$ trái dấu.

Ta có: $a = 1;b = - 3;c = m - 1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} - 1$ và ${x_2} - 1$ trái dấu khi và chỉ khi $\{\begin{matrix}Δ>0 \\ ({x}_{1}-1)({x}_{2}-1)<0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}9-4(m-1)>0\ (1) \\ {x}_{1}{x}_{2}-({x}_{1}+{x}_{2})+1<0\ (2)\end{matrix}$

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$.

Với điều kiện $m < \frac{{13}}{4}$, phương trình có hai nghiệm phân biệt${x_1};{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1$.

Ta có: $(2) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3$. Kết hợp $m < 3$ và $m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow \;m < 3$.

Cách khác: Đặt $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$, thế t vào phương trình đã cho, ta có:

${\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$

Điều kiện ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1$. Khi đó, gọi ${t_1} = {x_1} - 1;{t_2} = {x_2} - 1$ là hai nghiệm phương trình (*).

Vậy ${t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \;m - 3 < 0 \Leftrightarrow \;m < 3$.

Nhận xét: Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: $\Delta > 0$.