4 bài tập Các bài toán có liên quan tham số m (có lời giải)

Ta có: $\Delta ' = 4{m^2} - 4m - 24$

Phương trình (1) có nghiệm kép khi$\Delta ' = 0$

$\begin{array}{l}4{m^2} - 4m - 24 = 0\\{m^2} - m - 6 = 0\\\left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\end{array}$

$m + 2 = 0$ hoặc $m - 3 = 0$

$m = - 2$ hoặc $m = 3$

Vậy $m \in \left\{ { - 2;3} \right\}$.

a) Tìm $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$có nghiệm

Xét 2 tường hợp

TH1: Với $m = 0$ phương trình trở thành:

$$\begin{array}{l} - 5x - 2 = 0\\x = - \frac{2}{5}\end{array}$$

Vậy $m = 0$ thỏa yêu cầu bài toán

TH2: Với $m \ne 0$ phương trình $m{x^2} + \left( {2m - 5} \right)x + m - 2 = 0$ là một phương trình bậc hai và có $\Delta = {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4m\left( {m - 2} \right) = - 12m + 25$

để phương trình $\left( 1 \right)$có nghiệm thì $\Delta \ge 0$

$$\begin{array}{l} - 12m + 25 \ge 0\\m \le \frac{{25}}{{12}}\end{array}$$

Kết hợp hai trường hợp suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $m \le \frac{{25}}{{12}}$

b) Tìm $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt

để phương trình $\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt thì $a \ne 0$ và $\Delta > 0$

hay $m \ne 0$ và $- 12m + 25 > 0$

hay $m \ne 0$ và $m < \frac{{25}}{{12}}$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m \ne 0$ và $m < \frac{{25}}{{12}}$

a) Tìm giá trị của $m$để phương trình $\left( 1 \right)$có nghiệm $x = 3$

Vì $x = 3$là nghiệm của (1) nên thay $x = 3$vào phương trình ta có :

$\begin{array}{l}{3^2} + \left( {2m + 3} \right).3 + 3m = 0\\9 + 6m + 9 + 3m = 0\\9m = - 18\\m = - 2\end{array}$

Vậy để phương trình (1) có nghiệm $x = 3$thì $m = - 2$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$phương trình (1) luôn có nghiệm.

Phương trình (1) có :

$\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4.1.3m = 4{m^2} + 12m + 9 - 12m = 4{m^2} + 9 > 0\left( {\forall m} \right)$

Vậy phương trình (1) luôm có nghiệm (đpcm)

a) Ta có $a = 1,\,b = - \left( {m - 1} \right),\,c = {m^2}$

$\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} = 1 - 2m$

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi :

$\Delta ' = 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$

c) Phương trình có nghiệm kép khi $\Delta ' = 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

d) Phương trình vô nghiệm khi $\Delta ' = 1 - 2m = 0\,\,hay\,m > \frac{1}{2}$