3 bài tập Rút gọn biểu thức (có lời giải)

a) Ta có $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {15}$$= \left| {4 - \sqrt {15} } \right| + \sqrt {15}$$= 4 - \sqrt {15} + \sqrt {15}$$= 4$.

( Vì $4 - \sqrt {15} > 0$ nên $\left| {4 - \sqrt {15} } \right| = 4 - \sqrt {15}$)

b) Ta có

$\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$$= \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$$= \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + \left[ { - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)} \right]$$= 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1$$= 1$

( Vì $2 - \sqrt 3 > 0$ nên $\left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3$ và $1 - \sqrt 3 < 0$ nên $\left| {1 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3 - 1$)

c) Ta có $\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }$$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.\sqrt 3 .2 + {2^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .2 + {2^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt 3 + 2} \right| + \left| {\sqrt 3 - 2} \right|$$= \left( {\sqrt 3 + 2} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)$$= \sqrt 3 + 2 + 2 - \sqrt 3 = 4$.

d) Ta có $\sqrt {49{a^2}}$$= \sqrt {{{\left( {7a} \right)}^2}}$$= \left| {7a} \right|$$= - 7a$. ( Vì $a < 0$ nên $7a < 0$, suy ra $\left| {7a} \right| = - 7a$)

a). Ta có $\sqrt {25{a^2}} + 3a$$= \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2}} + 3a$$= \left| {5a} \right| + 3a$$= - 5a + 3a = - 2a$.

(Vì $a < 0$ nên $5a < 0$, suy ra $\left| {5a} \right| = - 5a$)

b). Ta có $\sqrt {16{a^4}} + 6{a^2}$$= \sqrt {{{\left( {4{a^2}} \right)}^2}} + 6{a^2}$$= \left| {4{a^2}} \right| + 6{a^2}$$= 4{a^2} + 6{a^2} = 10{a^2}$.

(Vì ${a^2} \ge 0$, với mọi $a$ nên $4{a^2} \ge 0$, với mọi $a$, suy ra $\left| {4{a^2}} \right| = 4{a^2}$)

c). Ta có $3\sqrt {9{a^6}} - 6{a^3}$$= 3\sqrt {{{\left( {3{a^3}} \right)}^2}} - 6{a^3}$$= 3\left| {3{a^3}} \right| - 6{a^3}$$= 3.\left( { - 3{a^3}} \right) - 6{a^3} = - 15{a^3}$.

(Vì $a \le 0$ nên $3{a^3} \le 0$, suy ra $\left| {3{a^3}} \right| = - 3{a^3}$)

d). Ta có $\sqrt {{a^2} + 6a + 9} + \sqrt {{a^2} - 6a + 9}$$= \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2}}$$= \left| {a + 3} \right| + \left| {a - 3} \right|$$= \left( {a + 3} \right) + \left( {3 - a} \right)$

$= a + 3 + 3 - a = 6$.

(Vì $- 3 \le a \le 3$ nên $a + 3 \ge 0$ và $a - 3 \le 0$, do đó $\left| {a + 3} \right| = a + 3$ và $\left| {a - 3} \right| = 3 - a$)

a). Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4$ ta có $a - 4 = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {2^2}$$= \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)$ nên:

$\frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 4}}$$= \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}$$= \frac{1}{{\sqrt a + 2}}$.

b). Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta có $\frac{{a + 2\sqrt a + 1}}{{a - 1}}$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + 2\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 1}}$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$$= \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}$.