26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 18. Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) (có lời giải)

a) $f\left( { - a} \right) = \left( { - a} \right){}^2 = {a^2} = f\left( a \right) \Rightarrow f\left( a \right) - f\left( { - a} \right) = 0$

b)

$\begin{array}{l}f\left( {a - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 2\\a - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = - 1\end{array} \right.\end{array}$

a) Vì $- 5{x^2} \le 0,\forall x \in R$nên $y \le 0$.

b) Để biểu thị $\left| x \right|$ gấp n lần cho ta x hai giá trị là K và nK $\left( {K \ne 0} \right)$.

Các giá trị tương ứng của y là $- 3{K^2}$và $- 3{n^2}{K^2}$.

a) $a = 2$

b) $y = 2{x^2}.$

c) $\left( { - \sqrt 2 ;4} \right)$ và $\left( {\sqrt 2 ;4} \right)$;

d) Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là các đường thẳng $y = x$ và $y = - x$. Ta cần tìm giao điểm của đồ thị $y = 2{x^2}$với cá đường thẳng $y = x$, $y = - x$ từ đó có ba điểm $O\left( {0;0} \right){;_{}}A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right){;_{}}B\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).$$m < 1$

Vẽ đồ thị $y = 2{x^2}$và đường thẳng $y = m - 1$

 $m < 1$: Vô nghiệm.

 $m = 1$: 1 nghiệm.

 $m > 1$: 2 nghiệm.

1. $(P)$ đi qua điểm $A(1; - 2)$ khi và chỉ khi $- 2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = - 2$.

2. Bảng giá trị

Vẽ đồ thị.

1. Vẽ đường thẳng $(d)$

Cho $x = - 2 \Rightarrow y = 2$.

Cho $x = 4 \Rightarrow y = 8$.

Vẽ parabol $(P)$:

Bảng giá trị

Vẽ đồ thị

2. Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{{{x^2}}}{2} = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.$.

Với $x = - 2 \Rightarrow y = 2$.

Với $x = 4 \Rightarrow y = 8$.

Vậy $(d)$ và $(P)$ có hai điểm chung có tọa độ là $( - 2;2)$ và $(4;8)$.

a)

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A\left( { - 2;4} \right),B\left( { - 1;1} \right),O\left( {0;0} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2;4} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {x^2}$ trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y = {x^2}$

b) Gọi $C$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ có tung độ bằng 16.

Ta có: ${y_C} = 16 \Leftrightarrow {x^2}_C = 16 \Leftrightarrow {x_C} = \pm 4$. Vậy $C\left( {4;16} \right)$ hoặc $C\left( { - 4;16} \right)$.

c) Gọi $D$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {D,Ox} \right) = \left| {{y_D}} \right| = x_D^2;d\left( {D,Oy} \right) = \left| {{x_D}} \right|$.

Theo giả thiết ta có: $x_D^2 = \left| {{x_D}} \right| \Leftrightarrow \left| {{x_D}} \right| = 0$ (loại) hoặc $\left| {{x_D}} \right| = 1$.

Vậy $D\left( {1;1} \right)$ hoặc $D\left( { - 1;1} \right)$.

a) Ta có $A \in \left( P \right)$ nên thay điểm $A\left( {2;4} \right)$ vào đồ thị ta có

$\begin{array}{l}4 = a{.2^2}\\a = 1\end{array}$

Vậy $a = 1$ là giá trị cần tìm.

b) Thay tọa độ điểm $B$ vào $\left( P \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}{m^3} = {m^2}\\{m^3} - {m^2} = 0\\{m^2}\left( {m - 1} \right) = 0\end{array}$

${m^2} = 0$ hoặc $m - 1 = 0$.

$m = 0$ hoặc $m = 1$.

Vậy $m = 0$ và $m = 1$ là giá trị cần tìm.

a) Từ đồ thị ta có điểm $\left( {2; - 1} \right)$thuộc parabol $y = a{x^2}$ nên

$\begin{array}{l} - 1 = a{.2^2}\\a = - \frac{1}{4}\end{array}$

b) Từ câu a, ta có parabol $y = - \frac{1}{4}{x^2}$

Với $x = 6$ nên $y = - \frac{1}{4}{.6^2} = - 9$

Vậy điểm cần tìm là $\left( {6; - 9} \right)$

c) Thay $y = - 25$ vào parabol $y = - \frac{1}{4}{x^2}$ ta có:

$\begin{array}{l} - 25 = - \frac{1}{4}{x^2}\\{x^2} = 100\end{array}$

$x = - 10$ hoặc $x = 10$

Vậy các điểm cần tìm là $\left( { - 10; - 25} \right);\left( {10; - 25} \right)$

a) Thay $y = - 2$ và $x = - 1$ vào hàm số $y = (2m - 1){x^2}$ ta được:

$\begin{array}{l} - 2 = (2m - 1){\left( { - 1} \right)^2}\\m = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}$

Vậy $m = \frac{{ - 1}}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Ta đi giải các hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.$ ta được nghiệm$\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$

Thay $x = 2;y = 1$và hàm số $y = (2m - 1){x^2}$ ta có:

$\begin{array}{l}1 = (2m - 1){.2^2}\\1 = 8m - 4\end{array}$

$m = \frac{5}{8}$

Vậy $m = \frac{5}{8}$ là giá trị cần tìm.

a)$A( - \sqrt 2 ;4) \in (P) \Rightarrow 4 = a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow a = 2$

Vậy $a = 2$ là giá trị cần tìm.

b) Ta có $y = 2{x^2}$

+ Vẽ $\left( P \right)$: Học sinh tự vẽ nhé

+ Thay $y = 2$ vào hàm số $y = 2{x^2}$ ta có:

$\begin{array}{l}2 = 2{x^2}\\x = \pm 1\end{array}$

$\Rightarrow \left( {1;2} \right);\left( { - 1;2} \right)$

+ Gọi $M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = 2x_{_0}^2$.

$M$ cách đều $Ox,\,\,Oy$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right|\\\left| {{x_0}} \right| = \left| {2x_{_0}^2} \right|\\2x_{_0}^2 = \left| {{x_0}} \right|\end{array}$

$2x_{_0}^2 = - {x_0}$ hoặc $2x_{_0}^2 = {x_0}$

$2x_{_0}^2 + {x_0} = 0$ hoặc $2x_{_0}^2 - {x_0} = 0$

${x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0$ hoặc ${x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0$

Giải ${x_0}\left( {2{x_0} + 1} \right) = 0$

${x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = - \frac{1}{2}$

Giải${x_0}\left( {2{x_0} - 1} \right) = 0$

${x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = \frac{1}{2}$

Do đó ${x_0} \in \left\{ { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right\}$

$\Rightarrow {M_1}(0;0);{M_2}\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);{M_3}\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right).$

a) Ta có (P) đi qua điểm $A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right) \Rightarrow 1 = \left( {m - 1} \right).{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow m = \frac{4}{3}$

b) Ta có $y = \frac{1}{3}{x^2}$

- Vẽ $\left( P \right)$: học sinh tự vẽ

Vì các điểm có hoành độ bằng 1 nên ta có: $y = \left( {\frac{4}{3} - 1} \right){.1^2} \Rightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow$ điểm cần tìm $\left( {1;\frac{1}{3}} \right)$

+

Gọi $M({x_0};{y_0}) \in (P) \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{3}x_{_0}^2$.

tung độ gấp đôi hoành độ là: ${y_0} = 2{x_0}$

hay

$\frac{1}{3}x_{_0}^2 = 2{x_0}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}x_{_0}^2 - 2{x_0} = 0\\{x_0}\left( {\frac{1}{3}{x_0} - 2} \right) = 0\end{array}$

${x_0} = 0$ hoặc $\frac{1}{3}{x_0} - 2 = 0$

${x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = 6$

$\Rightarrow \left( {0;0} \right);\left( {6;12} \right)$

Vậy các điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ là: $\left( {0;0} \right);\left( {6;12} \right)$

Giả sử $C\left( {c;{c^2}} \right)$ thuộc $(P)$ với $- 1 < c < 3$.

Gọi ${A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }$ là hình chiếu của $A,\;B$ và $C$ xuống trục $Ox$ Ta có:

${S_{A{A^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + B{B^\prime }} \right){A^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{(1 + 9).4}}{2} = 20$,

${S_{A{A^\prime }{C^\prime }C}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + C{C^\prime }} \right){A^\prime }{C^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {1 + {c^2}} \right) \cdot (1 + c)}}{2}$,

${S_{C{C^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {C{C^\prime } + B{B^\prime }} \right){C^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {9 + {c^2}} \right) \cdot (3 - c)}}{2}$.

Suy ra ${S}_{ABC}={S}_{A{A}^{'}{B}^{'}B}-{S}_{C{C}^{'}{B}^{'}B}-{S}_{A{A}^{'}{C}^{'}C}=6-2{c}^{2}+4c=8-2{(c-1)}^{2}⩽\ 8$.

a) Thay ${E_k} = 18,m = 3$ vào công thức ${E_k} = \frac{m}{2}{v^2}$, ta được: $\frac{3}{2} \cdot {v^2} = 18 \Rightarrow v = 2\sqrt 3 \approx 3{,}46\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$.

Vậy vận tốc của một quả banh bowling là $3{,}46\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$.

b) Thay ${\rm{v}} = 6,\;{\rm{m}} = 3$ vào công thức ${{\rm{E}}_{\rm{k}}} = \frac{{\rm{m}}}{2}{{\rm{v}}^2}$, ta được: ${{\rm{E}}_{\rm{k}}} = \frac{3}{2} \cdot {6^2} = 54\;{\rm{J}}$.

Vậy cần sử dụng năng lượng Kinetic ${{\rm{E}}_{\rm{k}}} = 54\;{\rm{J}}$.

1 dặm $= 1609\;{\rm{m}} = 1{,}609\;{\rm{km}}$. Tốc độ của người lái xe là:

$d = \frac{1}{{30f}} \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 30fd = 30 \cdot 185 \cdot 0{,}73 = 4051{,}5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v = 63{,}65{\rm{ (nh\^a n) }}}\\{v = - 63{,}65{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.$

$v = 63{,}65 \cdot 1{,}609 = 102{,}41(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})$

Vì $102{,}41 > 100$ (km/giờ) nên người chủ xe chạy quá tốc độ.

Vậy người chủ xe nói sai.

a) Khi ${\rm{t}} = 2,\;{\rm{s}} = 22$ ta có: $22 = a \cdot {2^2} \Rightarrow a = 5{,}5$ (nhận).

Vậy phương trình quãng đường bóng rơi có dạng ${\rm{s}} = 5{,}5{{\rm{t}}^2}$.

b) Với $t = 5$ ta có: ${\rm{s}} = 5,{5.5^2} = 137{,}5(\;{\rm{m}})$.

Khoảng cách của bóng cách đất lúc này là: $360 - 137{,}5 = 222{,}5(\;{\rm{m}})$

c) Với ${\rm{s}} = 360$ ta có $360 = 5{,}5{{\rm{t}}^2} \Rightarrow {\rm{t}} = 8(\;{\rm{s}})$.

Quãng đường bóng rơi được trước 2 giây cuối là: ${\rm{s}} = 5{,}5 \cdot {{\rm{t}}^2} = 5{,}5 \cdot {(8 - 2)^2} = 198(\;{\rm{m}})$.

Vậy quãng đường bóng đi được trong 2 giây cuối là: $360 - 198 = 162\;{\rm{m}}$.

Phương trình parabol của cổng trường có dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.

${\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\;{\rm{m}};{\rm{OE}} = {\rm{OA}} - {\rm{AE}} = 4{,}5 - 0{,}5 = 4\;{\rm{m}}$. Vì ${\rm{OS}} = 7{,}6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{A}}(4{,}5; - 7{,}6)$.

${\rm{A}}(4{,}5; - 7{,}6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 7{,}6 = a \cdot {(4{,}5)^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 7{,}6}}{{4,{5^2}}} = - \frac{{152}}{{405}}$

Vậy $(P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}$

Thay $x = 4$ vào $(P):y = - \frac{{152}}{{405}}{x^2}$, ta có: $y = - \frac{{152}}{{405}}{4^2} \approx - 6$

$\Rightarrow {\rm{HM}} = 6\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 7{,}6 - 6 = 1{,}6\;{\rm{m}}$

Vậy bạn sinh viên đó cao $1{,}6\;{\rm{m}}$.

Quỹ đạo máy bay là parabol có dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.

Sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi xuống đất nên khi $y = - 18$ thì $x = 6$.

Khi đó $- 18 = a{.6^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 18}}{{36}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của máy bay đồ chơi là: $(P):y = - \frac{1}{2}{x^2}$.

Thay $x = 3$ vào $(P):y = - \frac{1}{2}{x^2} \Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot {3^2} = - 4{,}5$

$\Rightarrow {\rm{MB}} = 4{,}5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{MH}} = {\rm{BH}} - {\rm{MB}} = 18 - 4{,}5 = 13{,}5\;{\rm{m}}$

Vậy sau 3 giây thì máy bay cách mặt đất $13{,}5\;{\rm{m}}$.