25 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

A

y' = 6x2.

D

Ta có $y' = \frac{1}{{\sqrt x }} + 1$ Þ $y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{\sqrt 4 }} + 1 = \frac{3}{2}$.

A

${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a$.

D

(sinx)' = cosx; ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$; ${\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$; (cosx)' = −sinx.

C

y' = 3xln3.

C

y' = cosx + x.(cosx)' = cosx – xsinx.

C

$y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$$= \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$$= \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$$= \frac{{{x^2} + 4x + 4 + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$$= 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

D

y' = cosx – sinx.

B

$y' = \frac{1}{{x\ln 5}}$Þ $y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\ln 5}}$.

A

Ta có $y' = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} + x - 5} }}$ Þ $y'\left( 2 \right) = \frac{9}{{\sqrt 5 }}$.

B

$y' = {\left( {{e^{{x^2} + 2x + 5}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)^\prime }{e^{{x^2} + 2x + 5}} = \left( {2x + 2} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}$.

C

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$.

C

y' = (2x)'.cos2x = 2cos2x.

C

f'(x) = 3x2 Þ f"(x) = 6x.

Do đó f"(1) = 6.

A

Ta có v(t) = S'(t) = −2 + 8t + 6t2; a(t) = v'(t) = 8 + 12t Þ a(5) = 68 m/s2.

Ta có v(t) = S'(t) = 12 – 6t.

a) v(0) = 12 – 6.0 = 12 (m/s).

b) Đổi 50 km/h ≈ 13,9 m/s. Do đó xe máy chưa chạy quá tốc độ.

c) Thời gian từ lúc đạp phanh đến khi xảy ra va chạm là nghiệm của phương trình

12t – 3t2 = 12 Û t = 2.

Vậy vận tốc tức thời của xe máy ngay khi xảy ra va chạm là v(2) = 12 – 6.2 = 0 m/s.

d) Thời điểm xảy ra va chạm là 2 giây kể từ lúc đáp phanh.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 3.

b) a(t) = v'(t) = 6t – 6.

c) Ta có v(t) = 3 Û 3t2 – 6t + 3 = 3 Û 3t2 – 6t = 0 Û t = 0 (loại) hoặc t = 2 (thỏa mãn).

Khi đó a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.

d) s(2) = 23 – 3.22 + 3.2 – 1 = 1 m.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) f'(x) = x2 – 6x + 7.

b) Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f'(0) = 7.

c) Phương trình tiếp tuyến là: y = 7x + 2.

d) f'(x) > 7 Û x2 – 6x + 7 > 7 Û $\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 6\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 0) È (6; +∞).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có v(t) = s'(t) = $4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$; $a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$.

a) $a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}$ cm/s2.

b) $v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi$ cm/s.

c) Có $- 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2$.

Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là $4\pi \sqrt 2$ cm/s.

d) $- 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2$.

Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là $- 16{\pi ^2}\sqrt 2$ cm/s2.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) f'(x) = 2xln2.

b) f'(x) ≥ 2 Û 2xln2 ≥ 2 Û 2x – 1ln2 ≥ 0 (luôn đúng ∀x Î ℝ).

c) f'(x) = ex Û 2xln2 = ex $\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}$$\Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\frac{1}{{\ln 2}} < 0$.

d) f'(1) = 2ln2.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}$.

Có y' = 0 Û −x2 + 2x + 3 = 0 Û x = −1 hoặc x = 3.

Tổng các nghiệm của phương trình y' = 0 là 2.

Trả lời: 2.

Ta có h'(x) = f(x) + x.f'(x).

Suy ra h'(2) = f(2) + 2.f'(2) = −2 + 2.0 = −2.

Trả lời: −2.

$f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$;

$f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$$= \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$.

Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.

Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.

Trả lời: −6.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{2018x}}.{\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$.

Do đó $f'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{2};f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};...;f'\left( {2018} \right) = \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}$.

Suy ra S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) = $1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}$.

Suy ra a = 2018; b = 2019. Do đó 2b – a = 2020.

Trả lời: 2020.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t$; a(t) = v'(t) = 2t2 – 4t + 6.

Þ a(t) = 2(t2 – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)2 + 4 ≥ 4.

Dấu “=” xảy khi khi t = 1.

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là $v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4{,}67$ (m/s).

Trả lời: 4,67.