25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{2 = 5 + 2{t^\prime }}\\{1 = 1 + 4{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{t^\prime } = - \frac{1}{2}}\\{{t^\prime } = - \frac{3}{2}}\\{{t^\prime } = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (vô nghiệm)}}{\rm{. }}$Suy ra $M$ không thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d//{d^\prime }$.

b ) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được: $\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}$

Phương trình nghiệm đúng, suy ra $M$ thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d \equiv {d^\prime }$.

a) Đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(7;3;2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (4; - 2; - 2)$

Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(3;5;4)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điếm ${\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }$.

Vậy ${\rm{d}} \equiv d$ '.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(0;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (3;3;4)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;9;5)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;4) = \vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ${{\rm{d}}^\prime }$ ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra $M \notin {d^\prime }$.

Vậy d // d'.

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;1;1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;5;1)$.

Ta có $\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}$, suy ra $\vec a$ và ${\vec a^\prime }$ không cùng phương. Vậy $d$ và ${d^\prime }$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{2 + t = 3 + {t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t - 2{t^\prime } = 1}\\{t - 5{t^\prime } = 1}\\{t - {t^\prime } = 1.}\end{array}} \right.} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra $t = 1;{t^\prime } = 0$. Thay vào (3) ta thấy phương trình thoà mãn.

Vậy $d$ cắt ${d^\prime }$ tại điềm $M(1;2;3)$.

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;1;1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;5;6)$.

Ta co $\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}$, suy ra $\vec a$ và ${\vec a^\prime }$ không cùng phương. Vậy $d$ và ${d^\prime }$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. ${d^\prime }$ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 9 + 6{t^\prime }}\end{array}} \right.$

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 + t = 1 + 2{t^\prime }}\\{2 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{3 + t = 9 + 6{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t - 2{t^\prime } = 0}\\{t - 5{t^\prime } = 0}\\{t - 6{t^\prime } = 6.}\end{array}} \right.} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra $t = 0;{t^\prime } = 0$. Thay vào (3) ta thấy phương trình không thoȧ mãn $(0 \ne 6)$. Vậy $d$ và ${d^\prime }$ chéo nhau.

a) Đường thắng d và d' lằn lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} = (2; - 1; - 3),\overrightarrow {{a_2}} = (4;7;11)$.

Ta có $\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}$ nên $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 4{t^\prime }}\\{y = 7{t^\prime }}\\{z = - 1 + 11{t^\prime }}\end{array}} \right.$

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2 + 4{t^\prime } = 2t}\\{7{t^\prime } = 1 - t}\\{ - 1 + 11{t^\prime } = 2 - 3t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4{t^\prime } - 2t = - 2}\\{7{t^\prime } + t = 1}\\{11{t^\prime } + 3t = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{t^\prime } = 0}\\{t = 1}\\{11.0 + 3.1 = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhắt.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là $\overrightarrow {{a_1}} = (1;2;2),\overrightarrow {{a_2}} = (3;2;9)$.

Ta có $\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}$ do đó $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thắng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượ là:

Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 + t = 2 + 3{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 9{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t - 3{t^\prime } = - 2}\\{2t - 2{t^\prime } = 0}\\{2t - 9{t^\prime } = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{{t^\prime } = 1}\\{2.1 - 9.1 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.$ (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

a) Đường thằng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec a = (1;2; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;4;9)$

b) $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = 1.1 + 2 \cdot 4 + ( - 1) \cdot 9 = 0$. Do đó ${\rm{d}} \bot {{\rm{d}}^\prime }$.

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1; - 8)$.

Ta có $\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 3 + 5 - 8 = 0$. Vậy $d$ và ${d^\prime }$ vuông góc với nhau.

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;1;1)$.

Ta có $\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 6 + 5 + 1 \ne 0$. Vậy $d$ và ${d^\prime }$ không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec a = (1; - 3;1),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;2)$.

Ta có $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = 1.1 + ( - 3) \cdot 1 + 1.2 = 0$.

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec a = (7;3;1),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;2;2)$.

Ta có $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 \ne 0$.

Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(1; - 1; - 2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (1;2;1)$ Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(2;3;0)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;4;2) = 2\vec a$ Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{ - 1 = 3 + 4{t^\prime }}\\{ - 2 = 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{t^\prime } = \frac{{ - 1}}{2}}\\{{t^\prime } = - 1{\rm{ (vô lí )}}{\rm{. }}}\\{{t^\prime } = - 1}\end{array}} \right.} \right.$Suy ra d// d'.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;2;2)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;5;1)$

${\rm{Có }}\overrightarrow {MN} = (1; - 1; - 2).\left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = ( - 8;1;3){\rm{. Có }}\overrightarrow {MN} \cdot \left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = 1 \cdot ( - 8) + ( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 3 = - 15 \ne 0.{\rm{ }}$

Do đó d và d' chéo nhau.

Đường thắng d' có vectơ chí phương là $\vec a = (3;2;4)$

Vi d // d' nên đường thắng d nhận $\vec a = (3;2;4)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điếm ${\rm{A}}(1;0;1)$ và nhận $\vec a = (3;2;4)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3t}\\{y = 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.$

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${{\rm{M}}_1}(1;2;3)$ và có $\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${{\rm{M}}_2}( - 11; - 6;10)$ và có $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 6; - 3;3)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có $- 3\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}}$, suy ra $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 12; - 8;7)$ và $\frac{{ - 12}}{2} \ne \frac{{ - 8}}{1}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ không cùng phương.

Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${{\rm{M}}_1}(1;2;3)$ và có $\overrightarrow {{u_1}} = (3;4;5)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${{\rm{M}}_2}( - 3; - 6;15)$ và có $\overrightarrow {{u_2}} = (1;2; - 3)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}$, suy ra $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 4; - 8;12),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 22;14;2){\rm{. }}$

Do $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 22) \cdot ( - 4) + 14 \cdot ( - 8) + 2 \cdot 12 = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ đồng phẳg.

Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thắng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${{\rm{M}}_1}( - 1;1;0)$ và có $\overrightarrow {{u_1}} = (4;3;1)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thắng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${{\rm{M}}_2}(1;3;1)$ và có $\overrightarrow {{u_2}} = (1;2;2)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (2;2;1),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = (4; - 7;5)$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Các đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (2; - 3; - 1),\overrightarrow {{u_2}} = (1; - 2;8)$.

Do $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 2 \cdot 1 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 8 = 0$ nên ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${A_1}(1;2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1{,}2)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${{\rm{A}}_2}(4; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 1)$. Vì $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1) = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ vuông góc với $\overrightarrow {{u_2}}$. Do đó ${\Delta _1}$ vuông góc với ${\Delta _2}$.

Ta có $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = (3; - 3;1)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;7;4)$.

Do $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 3 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot 7 + 1 \cdot 4 = - 20 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(1;2;3)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(2;4;1)$ và có ${\vec u_2} = (10; - 2;4)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $2{\vec u_1} = (10; - 2;4) = {\vec u_2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;2; - 2)$ và $\frac{1}{5} \ne \frac{2}{{ - 1}}$ nên ${\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ không cùng phương. Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(2;3; - 4)$ và có ${\vec u_1} = (3;2;1)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 2;1;2)$ và có ${\vec u_2} = (2;1; - 3)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương; $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 4; - 2;6),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 7;11; - 1){\rm{. }}$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 7) \cdot ( - 4) + 11 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 6 = 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 3;1;2)$ và có ${\vec u_1} = (1; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(6;8; - 1)$ và có ${\vec u_2} = (3;2; - 1)$ là vectơ chi phương. Ta có:

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (9;7; - 3),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;7;5).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 3) \cdot 9 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot ( - 3) = 7 \ne 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ không đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{t_1} = 2}\\{1 = {t_2}}\\{0 = 0}\end{array}} \right.$

Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là ${{\rm{t}}_1} = 2,{{\rm{t}}_2} = 1$.

Vậy hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

Đường thả̉ng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1; - 2;3)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = (1;1;4)$ Đường thắng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${\rm{B}}( - 1; - 1;0)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$

a) vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$ và $A \notin {\Delta _2}$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Trục OX đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec i = (1;0;0)$

Có $\overrightarrow {OA} = (1; - 2;3)$ và $\left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = (0; - 4;1)$.

Có $\overrightarrow {OA} \cdot \left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0$. Do đó đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thắng ${\Delta _3}$ đi qua điểm ${\rm{C}}( - 2; - 2; - 4)$ và có vectơ chỉ phương .

vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}} = (1;1;4)$ và ${\rm{B}} \in {\Delta _3}$ nên đường thắng ${\Delta _2}$ trùng với đường thắng ${\Delta _3}$.

d) Trục Oz đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$.

Có $\overrightarrow {OB} = ( - 1; - 1;0),\left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = ( - 1;1;0) \ne \vec 0$

Có $\overrightarrow {OB} \cdot \left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0$. Do đó đường thắng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz .

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1;3;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = (2;1; - 1)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${\rm{B}}(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;2;3)$.

${\rm{ Có }}\left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = (5; - 7;3),\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2; - 1).{\rm{ Có }}\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = - 5 + 14 - 3 = 6 \ne 0$

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (2; - 1;3)$

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${\rm{B}}(8; - 2;2)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;1;2)$

Ta có $\overrightarrow {AB} = (7; - 5;0)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 5; - 7;1) \ne \vec 0$ (1).

Có $\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 35 + 35 = 0(2)$.

Từ (1) và (2) suy ra ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 5; - 7;1)$.

Mặt phắng (P) đi qua điếm ${\rm{A}}(1;3;2)$, có vectơ pháp tuyĕ́n $\vec n = ( - 5; - 7;1)$ có phương trình là: $- 5(x - 1) - 7(y - 3) + (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x + 7y - z - 24 = 0$.

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua ${\rm{A}}(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (3;1;2)$

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua ${\rm{B}}(1; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (3;1;2)$

vi $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} = (3;1;2)$ và ${\rm{A}} \notin {\Delta _2}$ do đó ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Có $\overrightarrow {AB} = (0; - 4; - 2)$

Mặt phắng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( - 6; - 6;12)$

Mặt phắng $({\rm{P}})$ đi qua ${\rm{A}}(1;3;2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = ( - 6; - 6;12)$ có phương trình là: $- 6({\rm{X}} -$ 1) $- 6(y - 3) + 12(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y - 12z = 0$ hay $x + y - 2z = 0$.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua ${\rm{A}}( - 1;1;3)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_1}} = (1;0;2)$

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua ${\rm{B}}( - 1;2;1)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_2}} = (2;1;3)$

Có $\overrightarrow {AB} = (0;1; - 2),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 2;1;1) \ne \vec 0$

Có $\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 1 - 2 = - 1 \ne 0$

Do đó ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

a) Ta có các vectơ chỉ phương của $d$ và ${d^\prime }$ lân lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;4; - 2)$. ${\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }} = 2\vec a$ nên $\vec a$ và $\overrightarrow {{a^\prime }}$ cùng phương. Từ đó suy ra $d$ và ${d^\prime }$ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm $M(1;0;3) \in d$, ta có $M \notin {d^\prime }$ nên $d//{d^\prime }$.

b) Ta có $d$ và ${d^\prime }$ lản lượt nhận $\vec a = (2;3;1)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)$ là các vectơ chỉ phương. Vi $\vec a$ và $\overrightarrow {{a^\prime }}$ không cùng phương nên $d$ và ${d^\prime }$ cắt nhau hoặc chéo nhau. ${d^\prime }$ đi qua $M(1; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)$ nên có phương trình tham số là:

${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y = - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z = - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$${t^\prime } = - \frac{2}{5}$, thay vào (3), ta thấy $t$ và ${t^\prime }$ không thoả mãn (3).

Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ chéo nhau.

c) Ta có: $d$ đi qua $M(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1; - 1;2)$; ${d^\prime }$ đi qua ${M^\prime }(1;2; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (5;1; - 2)$.

Nên phương trình tham số của $d$ và ${d^\prime }$ lẩn lượt là:

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t = - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên $d$ và ${d^\prime }$ cắt nhau.

$d$ và ${d^\prime }$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec a = ( - 1;2;4)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;3; - 1)$.

Ta có $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = - 2 + 6 - 4 = 0$. Suy ra $\vec a \bot \overrightarrow {{a^\prime }}$. Vậy $d \bot {d^\prime }$.

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 7;1; - 2)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 7; - 2)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 5; - 10;3)$ và có ${\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)$ là vectơ chi phương.

Ta có: $\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0$ nên ${\vec u_1}$, ${\vec u_2}$, $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 2;1;0)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 1;3)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 2;1;1)$ và có ${\vec u_2} = (4;5; - 6)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).$