22 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn D

$I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 9 + 4 = 13$.

Chọn D

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Chọn A

$S = \int\limits_c^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_c^d {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_d^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx}$.

Chọn C

$\int {kf\left( x \right)} \,dx = k\int {f\left( x \right)} \,dx,k \ne 0$.

Chọn C

$\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {{\rm{d}}x} = 3 + \left. x \right|_0^2 = 5$.

Chọn B

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$.

Chọn B

Ta có $F\left( x \right) = \int {\sin xdx} = - \cos x + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 1$ nên $- \cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = 2$.

Khi đó $F\left( x \right) = - \cos x + 2$. Do đó $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + 2 = 2$.

Chọn B

$\int\limits_1^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^2 = 3$.

Chọn D

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3\cos x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = 3\sin x - \frac{1}{x} + C$.

Chọn A

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

Chọn A

$V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$.

Chọn B

Ta có $V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {2x} + 2} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^5 {\left( {2x + 4\sqrt {2x} + 4} \right)dx}$

$= \left. {\pi \left( {{x^2} + 4\sqrt 2 .\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 4x} \right)} \right|_0^5 = \pi \left( {45 + \frac{{40\sqrt {10} }}{3}} \right) \approx 274$ cm$^{3}$.

a) $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)$.

b) $F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$. Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$.

Vậy $F\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} + {2^2} + 1 = \frac{{23}}{3}$.

c) $\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2$$\Leftrightarrow k\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = 2$$\Leftrightarrow \left. {k\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = 2$$\Leftrightarrow \frac{{20k}}{3} = 2$$\Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}$.

d) $\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx}$$= \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx}$$= \left. {\left( {x + 2\ln x} \right)} \right|_1^3$$= 2 + 2\ln 3$.

Suy ra a = 2; b = 3. Do đó $3a - 5b = - 9$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $v\left( t \right) = \int {\left( { - 4 + 2t} \right)dt} = - 4t + {t^2} + C$.

Vì v(0) = 20 $\Rightarrow C = 20$. Do đó $v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20$.

b) Ta có $v\left( 4 \right) = {4^2} - 4.4 + 20 = 20$ m/s.

c) Có $S = \int\limits_0^3 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^3 = 51$ m.

d) $v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20 = {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 \ge 16$.

Tốc độ vật bé nhất khi t = 2.

Khi đó $s = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^2 = \frac{{104}}{3}$ m.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^0 {2x} {\rm{d}}x$.

b) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {a\left( {x - {x^2}} \right)} {\rm{d}}x$$= \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{a}{6}$.

c) Với $a = 2$ thì $\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^0 + \frac{2}{6} = - 1 + \frac{2}{6} = \frac{{ - 2}}{3}$.

d) $\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} > 3$$\Leftrightarrow \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^2 {f\left( x \right)dx} > 3$$\Leftrightarrow \int_{ - 1}^0 {2xdx} + \int_0^2 {a\left( {x - {x^2}} \right)dx} > 3$

$\Leftrightarrow \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 > 3$$\Leftrightarrow - 1 - \frac{{2a}}{3} > 3$$\Leftrightarrow a < - 6$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{2}$.

b) ${V_1} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{3}$.

c) ${V_2} = \pi \int\limits_0^2 {0,{7^{2x}}dx} = \pi \int\limits_0^2 {0,{{49}^x}dx = \left. {\frac{{\pi 0,{{49}^x}}}{{\ln 0{,}49}}} \right|} _0^2 \approx 3{,}3$.

d) $V = {V_1} + {V_2} \approx 4{,}4$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Có $f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)$.

Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C$.

c) Có $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$$\Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

d) $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.$.

Ta có $G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}$.

Có $G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5$$\Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1$.

Khi đó $G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 = - 13 - 6\ln 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + 1} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{e^x} + x} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {{e^2} - e + 1} \right) \approx 17{,}8$.

Trả lời: 17,8.

Ta có $- 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \Rightarrow$ Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là $5$ giây.

Vậy trong $8$ giây cuối cùng thì có $3$ giây ô tô chuyển động với vận tốc $10m/s$ và $5$ giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = - 2t + 10\left( {m/s} \right)$.

Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là $S = 3.10 + \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right)} dt = 30 + 25 = 55m$.

Trả lời: 55.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, vì đỉnh trại cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\3 = c\\0 = a.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{4}{3}\\c = 3\end{array} \right.$

Suy ra parabol có phương trình $y = f\left( x \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$.

Mỗi mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\,0 \le x \le h$ cắt khối chóp theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là $5$ và $\,\left| {f\left( x \right)} \right|$, có diện tích $S\left( x \right) = 5.\left| {f\left( x \right)} \right|$ , với $- \frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$.

Vậy thể tích phần không gian trong trại là $V = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {5.\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = 5.\int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - \frac{4}{3}{x^2} + 3} \right|dx = 30\,\,\,{m^3}}$.

Trả lời: 30.

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1$$= a + 1 + b\ln 2$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.$. Do đó $T = a + b = - 2$.

Trả lời: −2.

Có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

$F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}$$= \left( {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right){e^x}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy $S = a + b + c = 2$.

Trả lời: 2.