22 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tích phân (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn C

$\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx}$$= 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2.2 = 4$.

Chọn A

$\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 2 - 6 = - 4$.

Chọn A

Ta có $\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)$ $\Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 6$.

Chọn C

$\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^a = F\left( a \right) - F\left( a \right) = 0$.

Chọn C

$\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}$$\Rightarrow \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 3 - 5 = - 8$.

Chọn D

$\int\limits_2^3 {{{\left( {2x - 1} \right)}^4}dx} = \left. {\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^5}}}{{10}}} \right|_2^3 = \frac{{3125}}{{10}} - \frac{{243}}{{10}} = \frac{{2882}}{{10}}$.

Chọn C

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx}$$= \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {x + 3} \right) + 3}}{{x + 3}}dx}$

$= \int\limits_0^1 {\left( {2 + \frac{3}{{x + 3}}} \right)dx} = \left. {2x + 3\ln \left( {x + 3} \right)} \right|_0^1 = 2 + 3\ln 4 - 3\ln 3 = 2 + 6\ln 2 - 3\ln 3$.

Suy ra $a = 2;b = 6;c = - 3$. Do đó $a - b + c = 2 - 6 - 3 = - 7$.

Chọn A

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} = \left. {4x + \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi - 1$.

Suy ra $a = 2;b = - 1$. Do đó $a + b = 1$.

Chọn A

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 5x\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos 7x - \cos 3x} \right)dx}$$= \left. { - \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin 7x}}{7} - \frac{{\sin 3x}}{3}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{2}{{21}}$.

Suy ra $a = - 2;b = 21$. Do đó $\frac{1}{2}a + b = 20$.

Chọn D

$I = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_1^2 = \frac{6}{{\ln 3}}$. Suy ra $a = 6$.

Chọn A

$I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{3x}} + 3{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{e^{3x}}}}{3} + {x^3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{{e^3} + 2}}{3}$.

Suy ra $a = 2;b = 3$. Do đó $a - 2b = 2 - 2.3 = - 4$.

Chọn A

$I = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 3{x^2} + m} \right)dx} = {e^2}$$\Leftrightarrow \left. {{e^x} + {x^3} + mx} \right|_0^1 = {e^2}$$\Leftrightarrow e + m = {e^2}$Þ m = e2 – e.

a) Quãng đường xe di chuyển được phải là nguyên hàm của $v\left( t \right)$, $v'\left( t \right) = 2{,}01 - 0{,}05t\left( {0 \le t \le 10} \right)$ là công thức tính gia tốc của vật.

b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là $\int\limits_0^3 {\left( {2{,}01t - 0{,}025{t^2}} \right)dt} = 8{,}82$ m.

c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 là:

$s\left( 9 \right) - s\left( 8 \right) = \int\limits_8^9 {\left( {2{,}01t - 0{,}025{t^2}} \right)dt} \approx 15{,}277$ m.

d) Ta có $v\left( t \right) = 2{,}01t - 0{,}025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)$ $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = 17{,}6$ m/s khi t = 10 giây.

Gia tốc vật khi đó là $a\left( {10} \right) = v'\left( {10} \right) = 2{,}01 - 0{,}05.10 = 1{,}51\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right)$.

b) Có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = \int {5dt} + \int {3tdt} = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + C$.

Vì $s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t$.

c) Ta có $s = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^6 = \frac{3}{2}{.6^2} + 5.6 = 84$.

d) Máy bay rời đường băng khi $t = 35$ giây nên $s = \int\limits_0^{35} {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^{35} = 2012{,}5$.

Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\int\limits_1^5 {2f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 10$.

b) $\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = } \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_1^5 {g\left( x \right)dx = } 5 - 8 = - 3$.

c) $\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = } \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_1^5 {g\left( x \right)dx = } 5 + 8 = 13$.

d) $\int\limits_1^5 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right) - {x^2}} \right]dx} = 3\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_1^5 {g\left( x \right)dx} - \int\limits_1^5 {{x^2}dx}$$= 3.5 + 2.8 - \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^5 = - \frac{{31}}{3} < - 10$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = - 1 - 0 = - 1$.

b) $\int\limits_1^4 {\left[ {3 + f'\left( x \right)} \right]dx} = \left. {3x} \right|_1^4 + \left. {f\left( x \right)} \right|_1^4 = 12 - 3 + f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 9 + f\left( 4 \right)$.

c) $\int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_1^2 = - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right)$.

d) $\int\limits_1^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5$$\Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5$$\Leftrightarrow - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) + \left. {f\left( x \right)} \right|_2^4 = 5$$\Leftrightarrow - f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) + f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right) = 5$$\Leftrightarrow 1 + 0 + f\left( 4 \right) + 1 = 5 \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = 3$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\int {\left( {x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2}{x^2} + x + C$.

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{x + 1}}dx} = \left. {\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_1^2 = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$.

c) $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^1 {g\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2{x^2} + 3x + 2} \right)dx} + \int\limits_2^1 {\left( {x + 1} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_2^1$

$= \frac{{67}}{6} - \frac{5}{2} = \frac{{26}}{3}$.

d) $\int\limits_0^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{2{x^2} + 3x + 2}}{{x + 1}}dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( {2x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$$= \left. {\left( {{x^2} + 2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^2$$= 8 + \ln 3$.

Suy ra a = 8; b = 1. Khi đó a + b = 9 > 8.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

$\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) + {e^{2x}}} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx}$$= 2.2 + \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = 4 + \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{{e^2} + 7}}{2}$.

Suy ra $a = 2;b = 7;c = 2$. Do đó $a + b + c = 11$.

Trả lời: 11.

$\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\\\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = 2\\\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7}\\\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = - \frac{6}{7}\end{array} \right.$.

Do đó $\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{7} + \frac{6}{7} = \frac{{22}}{7} \approx 3{,}14$.

Trả lời: 3,14.

$I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {3{x^2} - x + 1} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_2^3$$= 2 + \frac{{35}}{2} = 19{,}5$.

Trả lời: 19,5.

Khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s, suy ra ${t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t = 10$.

Quãng đường mãy bay di chuyển trên đường băng là $\int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3} \approx 833$ m.

Trả lời: 833.

Ta có ${v_1}\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) \Leftrightarrow 2t + 12 = 24 - 6t \Leftrightarrow t = 1{,}5$.

Vậy xe di chuyển với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 2t + 12$ sau 1,5 giây thì phanh gấp.

Có ${v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Vậy xe di chuyển với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = 24 - 6t$ sau 4 giây thì dừng lại.

Quãng đường xe đi được là $\int\limits_0^{1{,}5} {{v_1}\left( t \right)dt} + \int\limits_{1{,}5}^4 {{v_2}\left( t \right)dt}$$= \left. {\left( {{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^{1{,}5} + \left. {\left( {24t - 3{t^2}} \right)} \right|_{1{,}5}^4 = 39$ m.

Trả lời: 39.