22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối Chương 1 có đáp án

Đáp án đúng là: C

$\pi {\rm{ rad}}$ tướng ứng với $180^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $a = \left( {\frac{{\alpha .180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = \left( {\frac{{ - \frac{{3\pi }}{{16}}.180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\\{}\\{}\end{array} = \left( { - \frac{{135}}{4}} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 33^\circ 45'.$

Đáp án đúng là: C

$72$ răng có chiều dài là $2\pi R$ nên $10$ răng có chiều dài $l = \frac{{10.2\pi R}}{{72}} = \frac{{5\pi }}{{18}}R$.

Theo công thức $l = R\alpha \Leftrightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{\frac{5}{{18}}\pi R}}{R} = \frac{5}{{18}}\pi$ mà $a = \frac{{180\alpha }}{\pi } = \frac{{180.\frac{5}{{18}}\pi }}{\pi } = 50^\circ$.

Cách khác: $72$ răng tương ứng với $360^\circ$ nên $10$ răng tương ứng với $\frac{{10.360}}{{72}} = 50^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\cos \frac{\pi }{{30}}\cos \frac{\pi }{5} + \sin \frac{\pi }{{30}}\sin \frac{\pi }{5} = \cos \left( {\frac{\pi }{{30}} - \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức $\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$, ta được

$M = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 2\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4} + x - \frac{\pi }{4}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4} - x + \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)$

$\, = - 2\sin x.\sin \frac{\pi }{4} = - \sqrt 2 \sin x.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sin \alpha .\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \beta = \sin \left[ {\left( {\alpha + \beta } \right) - \alpha } \right].$

$\Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( {\alpha + \beta } \right).cos\alpha - cos\left( {\alpha + \beta } \right).\sin \alpha .$

$\Leftrightarrow 2\sin \alpha .\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( {\alpha + \beta } \right).\cos \alpha \Rightarrow \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \beta } \right)}} = 2.\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\tan \alpha .$

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \sin \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T\,\, = \,\,\frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$.

Áp dụng: Hàm số $y = \sin \left( {5x - \frac{\pi }{4}} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{5}.$

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $y = {\sin ^2}x - 4\sin x + 5 = {\left( {\sin x - 2} \right)^2} + 1.$

Do $-1\le \sin x\le 1\overset{}{\rightarrow }-3\le \sin x-2\le -1\overset{}{\rightarrow }1\le {(\sin x-2)}^{2}\le 9$

$\overset{}{\rightarrow }2\le {(\sin x-2)}^{2}+1\le 10\overset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}M=10 \\ m=2\end{matrix}P=M-2{m}^{2}=2.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin 2x = 1$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0$$\Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

+) $\tan x = 2018$ có nghiệm.

+) $\sin x = \pi$ vô nghiệm do $\pi > 1$.

+) $\cos x = \frac{{2017}}{{2018}}$ có nghiệm do $- 1 < \frac{{2017}}{{2018}} < 1$.

+) $\sin x + \cos x = \sqrt 2$$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$, $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

${\rm{V\`i }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi {\rm{ n\^e n }}\cos \alpha < 0.{\rm{ }}$

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ (vì$\cos \alpha < 0$).

Ta có $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\cos 2\alpha = \sin \alpha$.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Xét tam giác $ABC$, ta có: $A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}$.

Ta có $\frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2} \Rightarrow \cos \frac{{B + C}}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}$.

Theo đề bài, ta có $\sin A = \cos B + \cos C \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} = \cos \frac{{B - C}}{2}$.

Vì $\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{{B - C}}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B - C\\A = C - B\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A + C = B\\A + B = C\end{array} \right..$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B$ hoặc tại $C$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Có $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

${\rm{V\`i }}x \in \left( {0;\pi } \right){\rm{ n\^e n }}\,x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}$. Ta có $\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$- \frac{\pi }{2} < \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3} < 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{1}{3} \Rightarrow k = \left\{ { - 1;0} \right\} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{ - \pi }}{9}}\\{x = \frac{{ - 4\pi }}{9}}\end{array}.} \right.$

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $h = \left| x \right| = \left| {1{,}5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1{,}5$.

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là $h = 1{,}5\,\;{\rm{m}}$.

Khi đó, $\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t = 0,t = 4,t = 8$ (giây).

Khi vật ở vị trí cân bằng thì $x = 0 \Leftrightarrow 1{,}5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow t = 2 + 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm $t = 2,\,t = 6,$$t = 10,t = 14,t = 18$ (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Độ dài một bánh xe là $2\pi .0{,}4\,\, = \,\,0{,}8\pi$ (m).

Số vòng quay của bánh xe đạp khi đi hết đoạn dây dài $30\,\,{\rm{m}}$ là $\frac{{30}}{{0{,}8\pi }}$ .

Khi đó bán kính xe đạp quét một góc lượng giác có số đo là $\frac{{30}}{{0{,}8\pi }}.\,2\pi \,\, = \,\,75\,\,\,{\rm{rad}}$.

Đáp án: 75.

Gọi $d$ là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường, $\alpha$ là góc ngắm lúc đầu của vận động viên.

Ta có $\tan \alpha = \frac{{25}}{d}$; $\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{10}}{d}$.

Công thức nhân đôi:

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} \Rightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{\frac{{20}}{d}}}{{1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}}}$$\Leftrightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{20d}}{{{d^2} - 100}}$$\Leftrightarrow {d^2} = 500$$\Leftrightarrow d = 10\sqrt 5 \simeq 22{,}4\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp án: 22,4.

Ta có $2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{{\tan a}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan a = 1\\\tan a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vì $- \frac{\pi }{2} < a < 0$ nên $\tan a < 0$, suy ra $\tan a = - \frac{1}{2}$, $\cot a = - 2$.

Ta có $\tan \left( {6\pi - a} \right) = - \tan a$; $\cot \left( {3\pi + a} \right) = \cot a$; $\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right) = - \cot a$.

Vậy $P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{ - \tan a - 2\cot a}}{{ - 3\cot a}}$$= \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

***Đáp án:* **$0{,}75$.

Ta có $d{\left( t \right)_{\max }} \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 171 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $0 < t \le 365$và $k \in \mathbb{Z}$ nên $t = 171$.

Vậy An đến thành phố A vào ngày thứ 171 của năm.

Đáp án: 171.

Ta có $\cos 5x=\cos (x+\frac{π}{4})\Leftrightarrow [\begin{matrix}5x=x+\frac{π}{4}+k2π \\ 5x=-x-\frac{π}{4}+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}4x=\frac{π}{4}+k2π \\ 6x=-\frac{π}{4}+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{π}{16}+k\frac{π}{2} \\ x=-\frac{π}{24}+k\frac{π}{3}\end{matrix}(k\in ℤ)$

+ Với nghiệm $x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}$ ta có: $- 2024 \le \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1288{,}6 \le k \le 1288{,}4\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$.

Suy ra có 2577 nghiệm thoả mãn.

+ Với nghiệm $x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3}$ ta có: $- 2024 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1932{,}7 \le k \le 1932{,}9\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$.

Suy ra có 3865 nghiệm thoả mãn.

Vậy có 6442 nghiệm thoả mãn.

Đáp án: 6442.