22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2. Cấp số cộng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

A

Dãy số ở đáp án A thỏa ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2$ với mọi $n \ge 1$ nên là cấp số cộng.

C

Xét dãy số ${u_n} = 1 + {3^n}$, suy ra ${u_{n + 1}} = 1 + {3^{n + 1}}$.

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = {2.3^n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó ${u_n} = 1 + {3^n}$ không phải là cấp số cộng.

A

Ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11$.

A

${u_8} = {u_1} + 7d$$\Leftrightarrow 26\, = \frac{1}{3} + 7d$$\Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}$.

A

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 2 - 3n + 2 = 3$.

Suy ra $d = 3$ là công sai của cấp số cộng.

C

Ta có công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: ${S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}$

Suy ra ${S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2}$$= 6\left( {2{u_1} + 11d} \right)$$\ne \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)$.

A

Gọi ${u_1}$, $d$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.$.

Vậy ${S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} \right)$$= 5.\left[ {2.\left( { - 35} \right) + 9.5} \right]$$= - 125$.

B

Ta có ${u_{10}} = {u_1} + 9d$$= - 2 + 9.3 = 25$.

B

${u_1} = 4;{u_2} = 1$$\Rightarrow$ $d = - 3$. Vậy ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} \right) = - 23$.

D

Số cây ở mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng có u1 = 10, công sai d = 2

Þ u10 = 10 + 9.2 = 28.

B

Theo đề bài ta có dãy số chỉ số cây trồng mỗi hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 1.

Ông Sơn đã trồng hết 11325 cây nên ta có:

$${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 11325 = \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} \Leftrightarrow n\left( {2 + n - 1} \right) = 22650$$

$\Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650 \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = - 151\left( L \right)}\\{n = 150\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.$.

Vậy có 150 hàng cây được trồng theo cách trên.

C

Ở lần cắt đầu tiên có ${{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_1} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

…

Ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Vậy dãy số (Tn) là một cấp số cộng có số hạng đầu ${{\rm{T}}_{\rm{1}}} = 4$ và công sai d = 3.

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (Tn) là:

${{\rm{S}}_{{\rm{100}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{100}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.4 + 99}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 15250}}$.

a) Ta có d = u3 – u2 = 2 – (−1) = 3.

b) u5 = u2 + 3d = −1 + 3.3 = 8.

c) Ta có u1 = u2 – d = −1 – 3 = −4.

Số hạng tổng quát là un = −4 + (n – 1).3 = 3n – 7.

d) Có ${S_{25}} = 25.\left( { - 4} \right) + \frac{{25\left( {25 - 1} \right).3}}{2} = 800$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} = - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d + {u_1} + 9d = - 31\\2\left( {{u_1} + 3d} \right) - \left( {{u_1} + 8d} \right) = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 11d = - 31\\{u_1} - 2d = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = - 3\end{array} \right.$.

b) Ta có u3 = u1 + 2d = 1 + 2.(−3) = −5.

c) Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n −1).(−3) = −3n + 4.

d) Có ${S_{10}} = 10.1 + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{2} = - 125$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) u1 = 5.1 – 8 = −3.

b) d = u2 – u1 = 2 – (−3) = 5.

c) u100 = 5.100 – 8 = 492.

d) ${S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left[ {2.\left( { - 3} \right) + 9.5} \right] = 195$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là u2 = 680 – 50 = 630 triệu đồng.

b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = −50.

c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: u4 = u1 + 3d = 680 – 3.50 = 530 triệu đồng.

d) Ta có un < 340 Û u1 + (n – 1)d < 340 Û 680 + (n – 1).(−50) < 340

Û −50n + 730 < 340 Û n > 7,8.

Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Gọi un là số hộp sữa ở hàng thứ n thì (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.

b) Số hộp sữa của hàng thứ 10 là u10 = u1 + 9d = 1 + 9.2 = 19 hộp sữa.

c) Để xếp được 20 hàng thì số hộp sữa cần có là ${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = \frac{{20}}{2}\left( {2.1 + 19.2} \right) = 400$ hộp sữa.

d) Ta có ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).2} \right] = {n^2}$.

Giả sử với 1000 hộp sữa ta chỉ xếp được nhiều nhất n hàng thì n là số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình Sn £ 1000 Û n2 £ 1000 $\Leftrightarrow - 10\sqrt {10} \le n \le 10\sqrt {10}$.

Suy ra n = 31.

Vậy hàng cuối cùng có ${u_{31}} = \frac{{31}}{2}\left( {2{u_1} + 30d} \right) = \frac{{31}}{2}\left( {2.1 + 30.2} \right) = 961$ hộp sữa.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Vì 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + 15}}{2}\\\frac{{x + y}}{2} = 15\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\end{array} \right.$.

Vậy 3x + 2y = 70.

Trả lời: 70.

Chiều dài các thanh ngang của dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là −2.

Ta có un = 45 – 2(n – 1) = 47 – 2n.

Khi un = 31 thì 47 – 2n = 31 Û n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

Trả lời: 8.

Ta có u3 + u28 = 100 Û u1 + 2d + u1 + 27d = 100 Û 2u1 + 29d = 100.

Mà ${S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + 29d} \right)$ nên S = 15.100 = 1500.

Trả lời: 1500.

Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = 196, công sai d = −7 và số hạng cuối cùng là un = 56.

Khi đó un = u1 + (n – 1)d Û 56 = 196 – 7(n – 1) Û n = 21.

Tổng chiều dài của 21 hình chữ nhật đó là ${S_{21}} = \frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2}.21 = 2646$.

Diện tích của 21 bậc thang là S = 35.2546 = 92610 (cm2) = 9,261 (m2).

Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: T = 9,261.1,25 = 11,57625 triệu đồng ≈ 12 triệu đồng.

Trả lời: 12.

Kí hiệu un là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó, dãy số (un) là cấp số cộng với u1 = 950 và d = 1,4.

Ta có u16 = u1 + 15d = 950 + 15.1,4 = 971.

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao 971 m so với mực nước biển.

Trả lời: 971.