22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương II (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

A

Ta có ${u_6} = \frac{1}{6}$.

Vì $0 < \frac{1}{n} \le 1$ nên dãy số (un) là dãy bị chặn.

D

Xét dãy ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}$.

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}}$.

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}$$= \frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} - \left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*$.

Do đó dãy ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}$ là dãy tăng.

C

Ta có d = u2 – u1 = −1 – 3 = −4.

Khi đó u3 = u1 + 2d = 3 + 2.(−4) = −5.

A

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$.

Khi đó ${S_{16}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {16 - 1} \right)d} \right].16}}{2}$$= \frac{{\left[ {2.\left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right).3} \right].16}}{2} = 24$.

B

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_6} = 486\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1}{q^5} = 486\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\2{q^5} = 486\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{q^5} = 243\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 3\end{array} \right.$.

B

Xét dãy số (un) có un = 7.3n Þ un + 1 = 7.3n + 1.

Khi đó $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3$ Þ un + 1 = 3un.

Vậy dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 7.3n là một cấp số nhân với công bội q = 3.

D

Ta có u6 = u1 + 5d = 27 Þ d = 6.

C

Ta có u1 = 2, u2 = 22 Þ công bội của cấp số nhân là $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2$.

Khi đó ${S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2.\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = {2^{11}} - 2$.

D

Ta có u37 = u1 + 36d = −4 + 36.10 = 356.

D

$\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

Ta có un = u1 + (n – 1).2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1.

D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_1} = 10\\{u_6} + {u_4} = 80\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2} + {u_1} = 10\\{u_1}{q^5} + {u_1}{q^3} = 80\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^2} + 1} \right) = 10\\{u_1}{q^3}\left( {{q^2} + 1} \right) = 80\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^2} + 1} \right) = 10\\10{q^3} = 80\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 2\end{array} \right.$.

Khi đó u2023 = u1.q2022 = 2.22022 = 22023.

B

Ta có u7 + u25 = 50 Û u1 + 6d + u31 – 6d = 50 Û u1 + u31 = 50.

Khi đó ${S_{31}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{31}}} \right).31}}{2} = \frac{{50.31}}{2} = 775$.

a) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}$$= \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}$

$= \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}$$= \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*$.

b) Theo câu a, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.

c) Dãy (un) là dãy số tăng.

d) Có ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}*$ mà un > 0, $\forall n \in \mathbb{N}*$ nên (un) dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Số tiền đầu tư mỗi lần được tính theo cấp số nhân với u1 = 20000 và q = 2.

a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là u2 = 20000.2 = 40000 đồng.

b) Số tiền anh lỗ ở lần thứ 9 là u9 = u1.q8 = 20000.28 = 5120000 đồng.

c) Số tiền đã lỗ trong 5 lần đầu là:

${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 620000$.

d) Vì anh An lỗ hết cả 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền lỗ là:

${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000$.

Số tiền anh lời trong lần thứ 10 là: u10 = u1.q9 = 10240000.

Ta có u10 – S9 = 20000 > 0 nên anh An lời 20000.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Số ghế của mỗi hàng lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 50.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 2{u_1}\\{u_n} + {u_{n - 1}} = 1550\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + \left( {n - 1} \right).50 = 2{u_1}\\{u_1} + \left( {n - 1} \right).50 + {u_1} + \left( {n - 2} \right).50 = 1550\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 50n = 50\\2{u_1} + 100n = 1700\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {u_1} + 50n = 50\\{u_1} + 50n = 850\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\n = 9\end{array} \right.$.

Sức chứa của khán đài là ${S_9} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {9 - 1} \right).50} \right].9}}{2} = \frac{{\left[ {2.400 + \left( {9 - 1} \right).50} \right].9}}{2} = 5400$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $q = {u_3}:{u_2} = \left( {\frac{{ - 3}}{8}} \right):\frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}$; ${u_1} = {u_2}:q = \frac{3}{4}:\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = - \frac{3}{2}$.

b) Ta có ${u_1} = - \frac{3}{2};{u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = - \frac{3}{8};{u_4} = \frac{3}{{16}}$

Do đó dãy này không tăng không giảm.

c) Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - \frac{3}{2}} \right).{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

d) ${u_5} = \left( { - \frac{3}{2}} \right).{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4} = - \frac{3}{{32}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Theo đề u1 = 600.

b) (un) là một cấp số cộng với công sai d = 1,1.

c) Ta có u8 = u1 + 7d = 600 +7.1,1 = 607,7 m.

d) Ta có ${S_{50}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {50 - 1} \right).1{,}1} \right].50}}{2} = \frac{{\left[ {2.600 + \left( {50 - 1} \right).1{,}1} \right].50}}{2} = 31347{,}5$ m.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với ${u_1} = 3;d = 4$.

Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp $10$ tầng là ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 39$.

Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp $10$ tầng là ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{10\left( {3 + 39} \right)}}{2} = 210$.

Trả lời: 210.

Cấp số nhân $2;\,8;x;128$ theo thứ tự đó sẽ là ${u_1};\,{u_2};\,{u_3};\,{u_4}$, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32$.

Trả lời: 32.

$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_4} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d - {u_1} - 3d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un = u1 + (n – 1).2 = 1 + 2(n – 1) = 2n – 1.

Theo đề có 2n – 1 = 11 Û n = 6.

Trả lời: 6.

Ta có u6 = 2.6 + 8 = 20.

Trả lời: 20.

Số hộp sơn ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u1 = 1 và d = 2.

Theo đề ta có Sn = 1089 $\Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.{u_1} + \left( {n - 1} \right)2} \right].n}}{2} = 1089$$\Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)2} \right].n}}{2} = 1089$

$\Leftrightarrow {n^2} = 1089$Û n = 33.

Để xếp 1089 hộp sơn thì cần 33 hàng.

Ta có u33 = u1 + 32d = 1 + 32.2 = 65.

Vậy hàng cuối cùng có 65 hộp sơn.

Trả lời: 65.