22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối Chương 1 (Đúng sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha .$

Đáp án đúng là: D

Vì số đo cung $AM$ bằng $45^\circ$ nên $\widehat {AOM} = 45^\circ$, $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua trục $Ox$ nên $\widehat {AON} = 45^\circ$. Do đó số đo cung $AN$ bằng $45^\circ$ nên số đo cung lượng giác $AN$ có số đo là $- \,\,45^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha - \sin \alpha = 0.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha$ ta được

$\sin \left( {2018a} \right) = 2\sin \left( {1009a} \right).\cos \left( {1009a} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1$ suy ra $a + b = \frac{\pi }{4}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức $\sin a - \sin b = 2.\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.$

Ta có $2\sin \frac{\pi }{7}.M = 2.\cos \frac{{2\pi }}{7}.\sin \frac{\pi }{7} + 2.\cos \frac{{4\pi }}{7}.\sin \frac{\pi }{7} + 2.\cos \frac{{6\pi }}{7}.\sin \frac{\pi }{7}$

$= \sin \frac{{3\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{5\pi }}{7} - \sin \frac{{3\pi }}{7} + \sin \frac{{7\pi }}{7} - \sin \frac{{5\pi }}{7}$$= - \sin \frac{\pi }{7} + \sin \pi = - \,\,\sin \frac{\pi }{7}.$

Vậy giá trị biểu thức $M = - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Vì hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi .$

Đáp án đúng là: A

Ta có $-1\le \sin x\le 1\overset{}{\rightarrow }-3\le 3\sin x\le 3\overset{}{\rightarrow }-5\le 3\sin x-2\le 1$

$\overset{}{\rightarrow }-5\le y\le 1\overset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}M=1 \\ m=-5\end{matrix}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $-1\le \sin x\le 1\overset{}{\rightarrow }-3\le \sin x-2\le -1,\ \forall x\in ℝ.$

Do đó không tồn tại căn bậc hai của $\sin x - 2.$

Vậy tập xác định $D = \emptyset .$

Đáp án đúng là: A

${\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$\sqrt 3 + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ $\Rightarrow \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó: $\cos \left( {\sin x} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin x = k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $- 1 \le k2\pi \le 1 \Leftrightarrow k = 0$.

Phương trình trở thành $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = m\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.$ $\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos \left( {\sin x} \right) = 1$ trên $\left[ {0;2\pi } \right]$ bằng $\pi$.

${\rm{V\`i }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi {\rm{ n\^e n }}\cos \alpha < 0.{\rm{ }}$

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ (vì$\cos \alpha < 0$).

Ta có $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\cos 2\alpha = \sin \alpha$.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Xét tam giác $ABC$, ta có: $A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}$.

Ta có $\frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2} \Rightarrow \cos \frac{{B + C}}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right) = \sin \frac{A}{2}$.

Theo đề bài, ta có $\sin A = \cos B + \cos C \Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} = \cos \frac{{B - C}}{2}$.

Vì $\cos \frac{A}{2}=\cos \frac{B-C}{2}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix}A=B-C \\ A=C-B\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}A+C=B \\ A+B=C\end{matrix}.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B$ hoặc tại $C$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Có $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

${\rm{V\`i }}x \in \left( {0;\pi } \right){\rm{ n\^e n }}\,x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}$. Ta có $\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$- \frac{\pi }{2} < \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3} < 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{1}{3} \Rightarrow k = \left\{ { - 1;0} \right\} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{ - \pi }}{9}}\\{x = \frac{{ - 4\pi }}{9}}\end{array}.} \right.$

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $h = \left| x \right| = \left| {1{,}5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1{,}5$.

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là $h = 1{,}5\,\;{\rm{m}}$.

Khi đó, $\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t = 0,t = 4,t = 8$ (giây).

Khi vật ở vị trí cân bằng thì $x = 0 \Leftrightarrow 1{,}5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow t = 2 + 4k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm $t = 2,\,t = 6,$$t = 10,t = 14,t = 18$ (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Độ dài một bánh xe là $2\pi .0{,}4\,\, = \,\,0{,}8\pi$ (m).

Số vòng quay của bánh xe đạp khi đi hết đoạn dây dài $30\,\,{\rm{m}}$ là $\frac{{30}}{{0{,}8\pi }}$ .

Khi đó bán kính xe đạp quét một góc lượng giác có số đo là $\frac{{30}}{{0{,}8\pi }}.\,2\pi \,\, = \,\,75\,\,\,{\rm{rad}}$.

Đáp án: 75.

Gọi $d$ là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường, $\alpha$ là góc ngắm lúc đầu của vận động viên.

Ta có $\tan \alpha = \frac{{25}}{d}$; $\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{10}}{d}$.

Công thức nhân đôi:

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} \Rightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{\frac{{20}}{d}}}{{1 - \frac{{100}}{{{d^2}}}}}$$\Leftrightarrow \frac{{25}}{d} = \frac{{20d}}{{{d^2} - 100}}$$\Leftrightarrow {d^2} = 500$$\Leftrightarrow d = 10\sqrt 5 \simeq 22{,}4\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp án: 22,4.

Ta có $2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{{\tan a}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan a = 1\\\tan a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vì $- \frac{\pi }{2} < a < 0$ nên $\tan a < 0$, suy ra $\tan a = - \frac{1}{2}$, $\cot a = - 2$.

Ta có $\tan \left( {6\pi - a} \right) = - \tan a$; $\cot \left( {3\pi + a} \right) = \cot a$; $\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right) = - \cot a$.

Vậy $P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{ - \tan a - 2\cot a}}{{ - 3\cot a}}$$= \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

***Đáp án:* **$0{,}75$.

Ta có $d{\left( t \right)_{\max }} \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 171 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $0 < t \le 365$và $k \in \mathbb{Z}$ nên $t = 171$.

Vậy An đến thành phố A vào ngày thứ 171 của năm.

Đáp án: 171.

Ta có $\cos 5x=\cos (x+\frac{π}{4})\Leftrightarrow [\begin{matrix}5x=x+\frac{π}{4}+k2π \\ 5x=-x-\frac{π}{4}+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}4x=\frac{π}{4}+k2π \\ 6x=-\frac{π}{4}+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{π}{16}+k\frac{π}{2} \\ x=-\frac{π}{24}+k\frac{π}{3}\end{matrix}(k\in ℤ)$

+ Với nghiệm $x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}$ ta có: $- 2024 \le \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1288{,}6 \le k \le 1288{,}4\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$.

Suy ra có 2577 nghiệm thoả mãn.

+ Với nghiệm $x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3}$ ta có: $- 2024 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3} \le 2024 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1932{,}7 \le k \le 1932{,}9\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$.

Suy ra có 3865 nghiệm thoả mãn.

Vậy có 6442 nghiệm thoả mãn.

Đáp án: 6442.