22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

- Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

- Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \sin \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T\,\, = \,\,\frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$.

Áp dụng: Hàm số $y = \sin \left( {5x - \frac{\pi }{4}} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{5}.$

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

Xét đáp án B, ta có $y = f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^3}x.\sin x = {\sin ^4}x$. Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Đáp án đúng là: A

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: C

Ta có

Đáp án đúng là: C

Ta có $y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x$.

Mà $-1\le \sin 4x\le 1\overset{}{\rightarrow }-2\le 2\sin 4x\le 2\overset{}{\rightarrow }3\le 5+2\sin 4x\le 7$

$\overset{}{\rightarrow }3\le y\le 7\overset{y\in ℤ}{\rightarrow }y\in \{3;4;5;6;7\}$ nên $y$ có $5$ giá trị nguyên.

Đáp án đúng là: B

Ta có $-1\le \sin (2016x+2017)\le 1\overset{}{\rightarrow }\sqrt{2}\ge -\sqrt{2}\sin (2016x+2017)\ge -\sqrt{2}.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt 2 .$

Đáp án đúng là: C

Vì $y = \tan \left( { - 2x + 1} \right)$ có chu kì $T = \frac{\pi }{{\left| { - 2} \right|}} = \frac{\pi }{2}.$

Nhận xét. Hàm số $y = \cos x\sin x = \frac{1}{2}\sin 2x$ có chu kỳ là $\pi .$

Đáp án đúng là: B

Ta có $y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2 = 1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2$

$= - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3 = - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} + 4.$

Mà $-1\le \sin x\le 1\overset{}{\rightarrow }-2\le \sin x-1\le 0\overset{}{\rightarrow }0\le {(\sin x-1)}^{2}\le 4$

$\overset{}{\rightarrow }0\ge -{(\sin x-1)}^{2}\ge -4\overset{}{\rightarrow }4\ge -{(\sin x-1)}^{2}+4\ge 0$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $0$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án đúng là: B

- Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}.$

TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$. Do đó $\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}$

Ta có $f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}} = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

- Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}.$

TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}$. Do đó $\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}$

Ta có $g\left( { - x} \right) = \frac{{\left| {\sin \left( { - 2x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}} = g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

Vậy $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ chẵn.

Đáp án đúng là: D

Ta có $y = {\sin ^2}x - 4\sin x + 5 = {\left( {\sin x - 2} \right)^2} + 1.$

Do $-1\le \sin x\le 1\overset{}{\rightarrow }-3\le \sin x-2\le -1\overset{}{\rightarrow }1\le {(\sin x-2)}^{2}\le 9$

$\overset{}{\rightarrow }2\le {(\sin x-2)}^{2}+1\le 10\overset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}M=10 \\ m=2\end{matrix}P=M-2{m}^{2}=2.$

Ta có $f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \frac{\pi }{4} - 1 = 0$.

Điều kiện xác định: $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$ và tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}.$

Ta có $f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 2x} \right) - 1 = - \tan 2x - 1$ nên hàm số $f\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.

Ta có $f\left( {x + \pi } \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) - 1 = \tan 2x - 1 = f\left( x \right)$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ là hàm tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D$, ta có:

$- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) - 1 = {\sin ^2}x + \cos x - 1 = f\left( x \right)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Từ đó suy ra $f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Khi $t = 5$, ta có: $h\left( 5 \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 5}}{8}} \right) \approx 69{,}3\,\,{\rm{(cm)}}$.

Khi $t = 20$, ta có: $h\left( {20} \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75\,\,{\rm{(cm)}}$.

Ta có $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75$ hay $h\left( t \right) \le 75$.

Giá trị lớn nhất của $h\left( t \right)$ là 75, khi đó $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Rightarrow t = 4 + 16k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $t \in \left[ {0\,;30} \right] \Rightarrow t \in \left\{ {4\,;20} \right\}$ (ứng với $k$ bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là $75\;\,{\rm{cm}}$).

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$- 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2$.

Vậy giá trị của hàm số là $T = \left[ {2\,;4} \right]$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Dao động tổng hợp là $x = {x_M} + {x_N} = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sqrt 3 \cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{2}} \right)$

Biên độ dao động tổng hợp của hai điểm sáng M và N là $4\sqrt 3 .$

Khoảng cách của M và N trong quá trình chúng dao động là

$d = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) - 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \pi } \right)$

Khoảng cách lớn nhất của M và N trong quá trình chúng dao động là $4.$

Để M, N gặp nhau khi $d = 0$.

Trong 1 chu kì, M và N gặp nhau 2 lần.

Trong 2012 chu kì đầu, 2 vật gặp nhau 2024 lần

Thời gian lần cuối hai vật gặp nhau là $\frac{T}{4}$. Vì ta có hình bên:

Vậy sau $2012T + \frac{T}{4} = 2012{,}25.\frac{6}{5} = 1214{,}7$ (s)

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x$.

Do $- 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7$.

Suy ra tập giá trị của hàm số là $T = \left[ {3\,;7} \right]$.

Vậy $a + b = 3 + 7 = 10$.

***Đáp án:* **10.

Ta có $y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}} \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\sin x - \left( {y + 3} \right)\cos x = 1 - 2y$.

Điều kiện để tồn tại cặp số $\left( {x\,;y} \right)$ là ${\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \ge {\left( {1 - 2y} \right)^2}$

$\Leftrightarrow - 2{y^2} + 6y + 12 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3$.

Đáp án: 3.

Ta có $h\left( x \right) = 4 + 4\sin \alpha$.

Khi $M$ ở vị trí cao nhất so với mặt nước (tức là $h\left( x \right) = 8$ ) thì $\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}$ (vì chỉ xét 1 vòng quay đầu tiên).

Thời gian thực hiện của guồng nước là: $t = \frac{{\frac{\pi }{2} \cdot 40}}{{2\pi }} = 10$ (giây).

Đáp án: 10.

Hàm số $y = \frac{{ - 49}}{{2500000{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{x^2} + x{\rm{tan}}\alpha$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có tọa độ đỉnh $I\left( {{x_I};\,{y_I}} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{1250000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}}\\{{y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}}\end{array}} \right.$.

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là ${y_{\max }} = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}$.

Mà ${y_{\max }} = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}} \le \frac{{625000}}{{49}}$, dấu bằng xảy ra khi ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1$ hay $\alpha = 90^\circ$.

Vậy quả đạn pháo sẽ đạt độ cao lớn nhất khi góc bắn bằng $90^\circ$.

Đáp án: $90$.

Ta có $- 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) \le 1,\forall t \in \left[ {0;12} \right]$ vì chu kì của hàm số này là 12.

Suy ra $- 1.5 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) \le 1.5,\forall t \in \left[ {0;12} \right]$.

Do đó: $- 1.5 + 26 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 26 \le 1.5 + 26,\forall t \in \left[ {0;12} \right]$.

Hay $21 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 26 \le 31,\forall t \in \left[ {0;12} \right]$.

Suy ra, tập giá trị $G = \left[ {21;31} \right]$. Do đó, $P = 21 + 31 = 52.$

Đáp án: 52.