22 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20. Định lý Viète & Ứng dụng lượng giác có đáp án

a) ${x_1} = 2$; ${x_2} = 8$ b) ${x_1} = 5$; ${x_2} = 10$

c) ${x_1} = 1$; ${x_2} = 5$ d) ${x_1} = 2$; ${x_2} = 5$

e) ${x_1} = - 1$; ${x_2} = 4$ g) ${x_1} = - 4$; ${x_2} = 5$

a) ${x_1} = - 1$; ${x_2} = \frac{{1 - 2m}}{{m + 1}}$

b) ${x_1} = 1$; ${x_2} = \frac{{1 - m}}{{2m - 1}}$.

a) ${x^2} - 18x + 80 = 0$ b) ${x^2} - 2x - 80 = 0$

c) $4{x^2} - 13x + 3 = 0$ d) $12{x^2} + 17x + 6 = 0$

e) ${x^2} - 2\sqrt 2 x - 1 = 0$.

Vì $\Delta = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có${x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2$

a) Ta có:

$A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21$

b) Ta có:

$B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2} = \sqrt {17}$

c) Vì ${x_1} + {x_2} > 0$ và ${x_1}{x_2} > 0$ nên ${x_1} > 0,{x_2} > 0$. Ta có

$C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}$

d) Ta có:

1. $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}} = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 }$$.$

Suy ra $D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}} + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}} \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}$

a) Vì $x + y = 18$ và $xy = 77$ nên $x,y$ là hai nghiệm của phương trình ${t^2} - 18t + 77 = 0.$

Giải phương trình trên ta được $t = 7,t = 11$.

Vậy hai số $x,y$ cần tìm là$\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)$.

b) Vì $x + y = - 3$ và $xy = 5$ nên $x,y$ là hai nghiệm của phương trình ${t^2} + 3t + 5 = 0$

Phương trình trên có ${\rm{\Delta }} = - 11 < 0$ nên vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số $x,y$ thỏa đề bài.

c) Vi $x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3$ và $x \cdot \left( { - y} \right) = - 1$ nên $x, - y$ là hai nghiệm của phương trình

${t^2} - 2\sqrt 3 t - 1 = 0$

Giải phương trình trên ta được các nghiệm $t = 2 - \sqrt 3 ,t = 2 + \sqrt 3$.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = - 2 + \sqrt 3 }\end{array}{\rm{\;\;}}} \right.$hoặc $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.$

Vậy hai số $x,y$ cần tìm là$\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right),\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)$.

d) Ta có:

${x^2} + {y^2} = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 2}\\{x + y = - 2.}\end{array}} \right.$

 Với $x + y = 2$, ta được hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 2}\\{xy = - 15{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.$

Suy ra, $x,y$ là hai nghiệm của phương trình ${t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = - 3}\\{t = 5{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 3}\\{y = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.$hoặc $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = - 3}\end{array}} \right.$

 Với $x + y = - 2$, ta được hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = - 2}\\{xy = - 15}\end{array}} \right.$

Suy ra, $x,y$ là hai nghiệm của phương trình ${t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 3}\\{t = - 5{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.$hoặc $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.$

Vậy hai số $x,y$ cần tìm là$\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3;5} \right),\left( {5; - 3} \right),\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right)} \right\}$.

1. Vì $\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}$

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Hệ thức Viète: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.$

Theo đề: $x_1^2 + x_2^2 = 10$

$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$

$\Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10$

$\Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy $m = - 1,m = 1$ là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ = 4m - 1 }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$ta được: $2m = {x_1} + {x_2} - 2$

Thay vào $\left( 2 \right)$ ta được:${x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.$

Biểu thức: $2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5$ luôn đúng với mọi $m.$

Vậy đây là biểu thức cần tìm.

a) $\Delta = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ tìm ${x_1}$, ${x_2}$ rồi thay vào $\left( 3 \right)$.

Chú ý: Có thể tìm ${x_1}$, ${x_2}$ từ phương trình đã cho rồi thay vào $\left( 2 \right)$.

b) Phương trình có hai nghiệm đều âm khi

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P < 0\end{array} \right.$ giải ra được $m > 1$.

c) Khử $m$ từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$.

a) $0 < m < 3$

c) $m = 0$, $m = 3$

d) $P = \left( {\frac{S}{2} + 1} \right)\left( {\frac{S}{2} - 2} \right)$

e) $m = - 1$, $m = 2$

a) ${Δ}^{'}={[-(m-1)]}^{2}-1.(m-3)={m}^{2}-3m+4={(m-\frac{3}{2})}^{2}+\frac{7}{4}>0$ $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0$ không phụ thuộc vào $m$.

c) $P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)$

$= {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}$, $\forall m$

Do đó ${P_{\min }} = \frac{{15}}{4}$ và dấu xảy ra khi $2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}$

Vậy ${P_{\min }} = \frac{{15}}{4}$ với $m = \frac{5}{4}$.

a) $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

b) Phương trình hai nghiệm $\Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.$

Theo đề bài:

$\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\\{x_2} = \frac{{3(m - 1)}}{2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3(m - 1)}}{2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m = \pm 1$ là các giá trị cần tìm

a) Với $m = 1$ phương trình đã cho trở thành ${x^2} - 10x + 9 = 0$

Ta có $a + b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 9\end{array} \right.$

b) $\Delta ' = {\left( { - 5m} \right)^2} - 1.9m = 25{m^2} - 9m$

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 25{m^2} - 9m > 0$ (*)

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10m\\{x_1} - 9{x_2} = 0\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x_2} = 10m\\{x_1} = 9{x_2}\\{x_1}{x_2} = 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\9{m^2} - 9m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m\\{x_1} = 9m\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\end{array} \right.,(*) \Rightarrow m = 1$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ thì $\Delta > 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right) > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\ \Rightarrow m \ne \frac{3}{2}\end{array}$

Mặt khác, theo hệ thức Viète và giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{{2m - 1}}{2}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\\3{x_1} - 4{x_2} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{13 - 4m}}{7}\\ {x_2} = \frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}}\\3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11\end{array} \right.$

Giải phương trình $3\frac{{13 - 4m}}{7} - 4\frac{{7m - 7}}{{26 - 8m}} = 11$

Ta được $\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 4{,}125\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 4{,}125\end{array} \right.$ là các giá trị cần tìm

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm ${x_1}$, ${x_2}$ là

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 \ge 0\\2(m + 1) \ge 0\\2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0$

Theo hệ thức Viète: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.$

Ta có $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \le \sqrt 2$$\Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} \le 2$

$\Leftrightarrow 2m + 2 + 2\sqrt {2m} \le 2 \Leftrightarrow m = 0$ (thoả mãn)

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Ta có $\Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 4.1.\left( {2m - 1} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 = 4{\left( {m - 1} \right)^2}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta > 0 \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow m \ne 1$

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$

Ta có $A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

$= m\left( {m + 1} \right) + 2007 = \left( {2m - 1} \right)\left( { - 2m} \right) = - 4{m^2} + 2m = - 4\left( {{m^2} - \frac{1}{2}m} \right)$

$= - 4\left( {{m^2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = - 4{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$, $\forall m$

Dấu xảy ra $m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$

Vậy ${A_{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}} = \frac{1}{4}$ với $m = \frac{1}{4}$.

a) Ta có $\Delta ' = {2^2} - 1.\left( {m + 3} \right)$$= 4 - m - 3$ $= 1 - m$

Để phương trình có nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1$

b) Theo câu a, ta có $m \le 1$ thì phương trình có hai nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ thỏa hệ thức Viète:

$$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{1} = - 4\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m + 3}}{1} = m + 3\end{array} \right.$$

Ta có $x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 = 51$$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 51 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( {m + 3} \right) + {\left( {m + 3} \right)^2} - 51 = 0$$\Leftrightarrow 16 - 2m - 6 + {m^2} + 6m + 9 - 51 = 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 4m - 32 = 0\,$$\left( * \right)$

$$\Delta ' = {2^2} - 1.\left( { - 32} \right) = 4 + 32 = 36 > 0;\,\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6$$

Do ∆’ > 0 nên phương trình $\left( * \right)$có 2 nghiệm phân biệt:

${m_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{1} = 4$ (loại); $;{m_2} = \frac{{ - 2 - 6}}{1} = - 8$ (nhận)

Vậy ${\rm{m}} = - 8$ là giá trị cần tìm.