20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $c = a \cdot \cos B = a \cdot \sin C\,;$

⦁ $c = b \cdot \cot B = b \cdot \tan C.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $b = c\tan B = c\cot C\,;$

⦁ $c = b\tan C = b\cot B.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $AH = BH \cdot \tan B = 10{,}4 \cdot \tan 35^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có độ dài cạnh góc vuông $AB = 250$ (m) và độ dài cạnh huyền $BC = 320$ (m).

Mà cạnh góc vuông $AB$ là cạnh kề của góc nhọn $\alpha$.

Do đó để tính giá trị của $\alpha$, cách đơn giản nhất là ta nên sử dụng tỉ số giữa cạnh kề $AB$ và cạnh huyền $BC$ của góc nhọn $\alpha$. Tức là sử dụng côsin của góc nhọn $\alpha$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB = AC \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$ (cm).

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = BC.\cos C.$

Suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{20}}{{\cos 60^\circ }} = 40$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7{,}71$ (cm).

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

⦁ $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ nên $\cos C = \sin B = \frac{3}{5}.$ Do đó phương án A là khẳng định đúng.

⦁ $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}.$ Suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{16}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{80}}{3} \approx 26{,}7$ (cm). Do đó phương án C là khẳng định sai.

⦁ $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (theo định lí Pythagore)

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {\left( {\frac{{80}}{3}} \right)^2} - {16^2} = \frac{{4096}}{9}.$ Do đó $AB = \frac{{64}}{3} \approx 21{,}3$ (cm).

Như vậy phương án D là khẳng định đúng.

⦁ $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\frac{{64}}{3}}}{{\frac{{80}}{3}}} = \frac{4}{5}.$ Do đó phương án B là khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: B

Theo đề, ta có $BH = 14{,}25$ m và $\widehat {ABH} = 55^\circ .$

Vì tam giác $ABH$ vuông tại H nên $AH = BH.\tan \widehat {ABH} = 14{,}25.\tan 55^\circ \approx 20{,}35$ (m).

Do đó chiều cao của cây xanh là $AH \approx 20{,}35$ m.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Theo đề, ta có $AC = 4{,}8$ m và $\widehat {BAC} = 32^\circ .$

Chiều cao của thang so với mặt đất là độ dài $AB.$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB = AC.\cos \widehat {BAC} = 4{,}8.\cos 32^\circ \approx 4{,}1$ (m).

Do đó chiều cao của thang so với mặt đất là $4{,}1$ m.

a) Đúng.

Vì $\Delta ACN$ vuông tại $N$ nên $NC = AC \cdot \cos C = AC \cdot \cos 45^\circ = \sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

b) Sai.

Vì $\Delta ACN$ vuông tại $N$ nên $AN = NC = \sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}$.

c) Đúng.

Vì $\Delta ABN$ vuông tại $N$ nên $AN = AB \cdot \sin \widehat B$, suy ra $AB = \frac{{AN}}{{\sin \widehat B}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin 30^\circ }} = 2\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

d) Sai.

Vì $\Delta ABN$ vuông tại $N$ nên $NB = AB \cdot \cos \widehat B = 2\sqrt 2 \cdot \cos 30^\circ = \sqrt 6 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AN \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) = 1 + \sqrt 3$ (cm$^{2}$).

a) Sai.

Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4{,}5 \cdot 6 = 13{,}5\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$, có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

${6^2} + {4{,}5^2} = B{C^2}$

$B{C^2} = 56{,}25\,\,$

$BC = 7{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

c) Đúng.

Xét tam giác $ABC$, có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{7{,}5}} = \frac{4}{5}$.

Do đó, $\widehat B \approx 36{,}86^\circ > 35^\circ$.

d) Sai.

Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Do đó, $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = 13{,}5$ nên $BC \cdot AH = 27$.

Suy ra $AH = 27:7{,}5 = 3{,}6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

a) Đúng.

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (1).

b) Đúng.

Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (2).

c) Sai.

Từ (1) và (2) suy ra $BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ$

$BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

d) Sai.

Với $AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$ suy ra $CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Chiều cao của tòa nhà là: $5 + 11{,}9 + 7 \approx 23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

a) Đúng.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

• Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ nên $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}$

Suy ra $CH = AH \cdot \tan 43^\circ .$

b) Đúng.

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}$ (2)

c) Sai.

Từ (1) và (2) ta có:

$AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)$

d) Sai.

Do đó, $CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84{,}66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84{,}66{\rm{ m}}$.

a) Đúng.

Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, ta có: O10-2024-GV154...........$\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}$ hay $AK = AD \cdot \tan 36^\circ$.

b) Đúng.

Ta có: O10-2024-GV154...........$FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

c) Sai.

Từ $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},$ ta có $AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18{,}164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AH = AK + KH \approx 18{,}164 + 1{,}6 = 19{,}764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $AH$ và khoảng 20 m.

d) Đúng.

Xét $\Delta AFK$ vuông tại $K$, ta có: O10-2024-GV154...........$\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18{,}164}}{{20}}$, do đó $\widehat {KFA} \approx 42^\circ .$

Vậy góc nâng từ $F$ đến nóc tòa nhà khoảng $42^\circ$.

Đáp án: 6 398

Theo đề, ta có $\widehat {BAC} = 23^\circ$ và $BC = 2\,\,500$ (m).

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}}.$

Suy ra $AC = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$ hay $x = \frac{{2\,\,500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6\,\,398$ (m).

Do đó muốn đạt độ cao $2500$ m thì máy bay phải bay một đoạn đường $x$ dài $6\,\,398$ mét.

Đáp án: 3,97

Tam giác $ABC$ có $AN$ là đường cao. Suy ra $AN \bot BC$ tại $N.$

Vì tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên $\tan B = \frac{{AN}}{{BN}}.$ Suy ra $BN = \frac{{AN}}{{\tan B}}.$

Tương tự, vì tam giác $ACN$ vuông tại $N$ nên $\tan C = \frac{{AN}}{{CN}}.$ Suy ra $CN = \frac{{AN}}{{\tan C}}.$

Ta có $BN + CN = BC = 9$ hay $\frac{{AN}}{{\tan B}} + \frac{{AN}}{{\tan C}} = 9$

Tức là, $AN\left( {\frac{1}{{\tan 50^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) = 9$

Khi đó $AN = 9:\left( {\frac{1}{{\tan 50^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 3{,}97$ (cm).

Vậy độ dài $AN$ khoảng 3,97 cm.

Đáp án: 1 841

Kẻ $BH \bot AC$ tại $H.$

Tam giác $ABC,$ có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 65^\circ } \right) = 40^\circ .$

Vì tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên:

⦁ $BH = BC \cdot \sin \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ$ (m);

⦁ $CH = BC \cdot \cos \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ$ (m).

Vì tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên $BH = AH \cdot \tan \widehat {BAH}$

Suy ra $AH = \frac{{BH}}{{\tan \widehat {BAH}}} = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }}$ (m).

Khi đó $AC = AH + CH = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }} + 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ \approx 1{\rm{\;\;}}841$ (m).

Do đó khoảng cách $AC$ khoảng $1{\rm{\;\;}}841$ m.

Đáp án: 46

Ta có $AB = 1{,}6 + 25 = 26{,}6{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Có $\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26{,}6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiếc xe cách mắt người quan sát khoảng $46{\rm{\;m}}.$

Đáp án: 41,2.

Xét $\Delta DHA$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}$ nên $HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}$.

Xét $\Delta DHB$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}$ nên $HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.$

Ta có: $HB - HA = AB$ suy ra $\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56$

$$DH \cdot \left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56$$

$DH = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39{,}65$.

Khi đó $CD = CH + DH = 1{,}5 + 39{,}65 \approx 41{,}2\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng 41,2 m.