20 câu trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 13. Hình chữ nhật (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Hình chữ nhật là hình $2.$

Đáp án đúng là: B

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD = 7\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Tứ giác $ABCD$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .$

Mà $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D$ nên $\widehat A + \widehat A + \widehat A + \widehat A = 360^\circ .$ Suy ra $\widehat A = 90^\circ .$ Do đó, $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ .$

Suy ra, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật. Do đó, $AD = BC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Vậy $AD = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat A = 90^\circ$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật. Do đó, $AC = BD.$

Đáp án đúng là: C

Câu sai là: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình chữ nhật. Hình minh họa:

Đáp án đúng là: A

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB.$ Do đó, tam giác $OAB$ cân tại $O.$ Nên $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}.$

Đáp án đúng là: D

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 90^\circ$ nên tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Vì chu vi hình chữ nhật $ABCD$ bằng $30\;{\rm{cm}}$ nên: $2\left( {AB + AD} \right) = 30$, suy ra $AB + AD = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

a) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD.$

b) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {DAB} = 90^\circ$ hay $\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .$

Theo đề bài: $\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}$ nên $\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .$ Suy ra $3\widehat {OAB} = 90^\circ ,$ nên $\widehat {OAB} = 30^\circ .$

c) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OC = OD.$ Do đó, tam giác $COD$ cân tại $O.$

Do đó, $OH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta COD.$ Suy ra $HC = \frac{1}{2}DC.$

d) Đúng.

Vì $\widehat {OAB} = 30^\circ$ nên $\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OD.$ Do đó, tam giác $AOD$ cân tại $O.$

Mà $\widehat {OAD} = 60^\circ$ nên tam giác $AOD$ là tam giác đều.

a) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.$

Vì $C$ là trung điểm của $DE$ nên $DC = CE.$

Vì $DC = CE,\;AB = CD$ nên $AB = CE.$

b) Đúng.

Tứ giác $ABEC$ có: $AB = CE,\;AB\;{\rm{//}}\;CE$ nên tứ giác $ABEC$ là hình bình hành.

c) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {DCB} = 90^\circ .$ Do đó, $BC \bot DE.$

Tam giác $BDE$ có $BC$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó, tam giác $BED$ cân tại $B.$

d) Đúng.

Nếu $\widehat {ACD} = 60^\circ$:

Vì tứ giác $ABEC$ là hình bình hành nên $AC\;{\rm{//}}\;BE.$ Suy ra, $\widehat {BED} = \widehat {ACD} = 60^\circ .$

Mà tam giác $BED$ cân tại $B$ nên tam giác $BED$ đều.

Vậy điều kiện để tam giác $BED$ là tam giác đều là $\widehat {ACD} = 60^\circ .$

a) Đúng.

Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD.$

Do đó, tam giác $AOB$ cân tại $O$ và tam giác $COB$ cân tại $O.$

Tam giác $AOB$ cân tại $O$ nên $OM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, $\widehat {OMB} = 90^\circ .$

Tam giác $COB$ cân tại $O$ nên $ON$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, $\widehat {ONB} = 90^\circ .$

b) Đúng.

Tứ giác $OMBN$ có: $\widehat {MBN} = \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = 90^\circ .$ Do đó, tứ giác $OMBN$ là hình chữ nhật.

c) Sai.

Vì tứ giác $OMBN$ là hình chữ nhật nên $MN = OB.$ Mà $OB = \frac{1}{2}AC$ nên $MN = \frac{1}{2}AC.$

d) Đúng.

Gọi $K$ là giao điểm của $OB$ và $MN.$ Vì tứ giác $OMBN$ là hình chữ nhật nên $KM = KB.$

Do đó, tam giác $KMB$ cân tại $K.$ Do đó, $\widehat {KMB} = \widehat {KBM}.$

Vì tam giác $AOB$ cân tại $O$ nên $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}.$ Do đó, $\widehat {OAB} = \widehat {KMB}.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $MN\,{\rm{//}}\,AC.$

a) Đúng.

Vì $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $BM,\;CN$ của $\Delta ABC$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$

b) Sai.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.$

Vì $M$ là trung điểm của $AC$ nên $AM = MC = \frac{1}{2}AC.$

Vì $N$ là trung điểm của $AB$ nên $AN = NB = \frac{1}{2}AB.$

Do đó, $AN = NB = AM = MC.$

Tam giác $BMC$ và tam giác $CNB$ có: $\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\;\left( {cmt} \right),\;MC = BN\;\left( {cmt} \right),\;BC\;{\rm{chung}}{\rm{.}}$

Do đó, $\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {c - g - c} \right).$

c) Đúng.

Vì $\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {cmt} \right)$ nên $BM = CN.$

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $GC = \frac{2}{3}CN,\;BG = \frac{2}{3}BM.$ Suy ra: $GB = GC.$

Mà $GD = GB,\;GE = GC$ nên $GD = GB = GE = GC.$ Suy ra: $EG + GC = BG + GD$ hay $BD = CE.$

d) Đúng.

Tứ giác $BEDC$ có hai đường chéo $CE,\;BD$ cắt nhau tại $G;\;$ $G$ vừa là trung điểm của $BD$ vừa là trung điểm của $EC.$ Do đó, tứ giác $BEDC$ là hình bình hành. Mà $BD = CE$ nên tứ giác $BEDC$ là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat {EBC} = 90^\circ .$

a) Sai.

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $\widehat {AHC} = 90^\circ .$ Do đó, tam giác $AHC$ vuông tại $H.$ Mà $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC.$ Do đó, $HM = \frac{1}{2}AC.$

b) Đúng.

Tứ giác $AHCN$ có: $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,\;HN;$ $M$ là trung điểm của $AC,\;M$ là trung điểm của $HN.$ Do đó, tứ giác $AHCN$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat {AHC} = 90^\circ$ nên tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật nên $\widehat {ANC} = 90^\circ .$

d) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AH = NC,\;AN = HC.$

Vì diện tích tam giác $AHC$ bằng $20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$ nên: $\frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Diện tích tam giác $ANC$ vuông tại $N$ là: $S = \frac{1}{2}AN \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Vậy diện tích tam giác $ANC$ bằng $20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án: $1$

Tứ giác $ABCD$ có: $AB\,{\rm{//}}\,CD,\;AB = CD.$ Do đó, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Để hình bình hành $ABCD$ là hình bình chữ nhật $AC = BD.$

Do đó, số thích hợp để điền vào dấu “…” là $1.$

Đáp án: $10$

Tứ giác $ABED$ có: $\widehat A = \widehat B = \widehat {BED} = \widehat {EDA} = 90^\circ$ nên tứ giác $ABED$ là hình chữ nhật.

Do đó, $EB = AD = 4\;{\rm{m,}}\;AB = DE.$

Ta có: $EC = CB - BE = 10 - 4 = 6\;\left( {\rm{m}} \right).$

Diện tích tam giác $DEC$ vuông tại $E$ bằng $30\;{{\rm{m}}^2}$ nên

$\frac{1}{2}EC \cdot DE = 30$

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot DE = 30$

$DE = 10\;{\rm{m}}.$

Do đó, $AB = DE = 10\;{\rm{m}}.$ Vậy $AB = 10\;{\rm{m}}.$

Đáp án: $5$

Vì chu vi hình chữ nhật $ABCD$ bằng $14\;{\rm{cm}}$ nên $2\left( {DC + AD} \right) = 14\;{\rm{cm}}$ nên $AD + DC = 7\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Vì chu vi tam giác $ACD$ bằng $12\;{\rm{cm}}$ nên $DC + AD + AC = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Do đó, $7 + AC = 12$ hay $AC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BD = AC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Vậy $BD = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $5$

Vì chu vi tam giác $ABC$ bằng $24\;{\rm{cm}}$nên $AB + BC + AC = 24\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì $AB:AC:BC = 3:4:5$ nên $\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{AB + AC + BC}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{24}}{{12}} = 2.$

Do đó, $BC = 2 \cdot 5 = 10\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Mà $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $AM = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $4$

Vì $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $HE.$

Tứ giác $AHCE$ có: $I$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$ và $HE$ nên tứ giác $AHCE$ là hình bình hành.

Mà $\widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$) nên tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật.

Tam giác $AHC$ có $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $HI,\;AM$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $AHC.$ Do đó, $HG = \frac{2}{3}HI,\;IG = \frac{1}{2}HG.$

Tam giác $AEC$ có $K$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $AN,\;EI$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $AEC.$ Do đó, $EK = \frac{2}{3}EI,\;IK = \frac{1}{2}EK.$

Vì $EK = \frac{2}{3}EI,\;HG = \frac{2}{3}HI,\;HI = EI$ nên $HG = EK\;\left( 1 \right).$

Lại có: $IG = \frac{1}{2}HG,\;IK = \frac{1}{2}EK,\;HG = EK$ nên $IG = IK = \frac{1}{2}HG.$

Ta có: $GK = IG + IK = \frac{1}{2}HG + \frac{1}{2}HG = HG\;\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)$ ta có: $HG = GK = KE.$ Mà $HG + GK + KE = HE$ nên $GK = \frac{1}{3}HE.$

Vì tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật nên $HE = AC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Do đó, $GK = \frac{1}{3}HG = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $GK = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$