20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: D

Phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {5^2}$ là phương trình mặt cầu.

Đáp án đúng: D

Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là $I\left( {0;4;1} \right),R = 5$.

Đáp án đúng: B

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 8z + 4 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25$.

Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là $I\left( {3; - 2;4} \right),R = 5$.

Đáp án đúng: C

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {2;1; - 1} \right),R = 3$.

Có $IM = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 < 3$.

Suy ra điểm M nằm trong mặt cầu (S).

Đáp án đúng: C

Điều kiện để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu là ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Đáp án đúng: C

Mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính R = 4 có phương trình là ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16$.

Đáp án đúng: C

$R = IM = \sqrt {{{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {27}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 27$.

Đáp án đúng: A

$R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = 3$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9$.

Đáp án đúng: B

Gọi I là trung điểm của MN. Suy ra I(0; 2; 1), $MN = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {20}$.

Mặt cầu đường kính MN nhận I làm tâm và $R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {20} }}{2}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$.

Đáp án đúng: C

Ta có $AP = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {3^2} + {1^2}} = \sqrt {26} > 5$.

Suy ra P không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.

a) $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 25$.

Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt cầu ta được ${1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} - 6.1 + 4.\left( { - 2} \right) - 12 = - 21 \ne 0$.

Do đó điểm K không thuộc mặt cầu (S).

c) Đường kính của mặt cầu là 2R = 2.5 = 10.

d) Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{20\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }} = 4$.

Bán kính của đường tròn $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Mặt cầu (S) có tâm $I\left( { - 2;1;0} \right),R = 2$.

Suy ra đường kính của mặt cầu là 4.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt cầu (S) ta được ${\left( { - 1 + 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} + {0^2} = 5 \ne 4$.

Suy ra mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) $d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 2$.

d) Có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R$.

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Gọi (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì (S) đi qua A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1) nên ta có hệ phương trình

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 2c + d = - 10\\4b + 6c + d = - 13\\ - 6c + d = - 9\\6a - 2b - 2c + d = - 11\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = \frac{1}{2}\\c = - \frac{1}{2}\\d = - 12\end{array} \right.$.

Suy ra tâm mặt cầu (S) là $I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

a) Hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy là điểm $H\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)$.

b) Ta có $OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {19} }}{6}$.

c) Bán kính $R = OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = \frac{{\sqrt {451} }}{6}$.

d) Thay tọa độ điểm I vào đường thẳng d ta được $\frac{{\frac{1}{6} - 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{{ - \frac{1}{2} - 2}}{3}$ (vô lí) nên d không đi qua I.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $T\left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2}} \right) = \left( {3;1;1} \right)$.

b) Có $R = \frac{{DE}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 6$.

Phương trình mặt cầu (S) là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

c) Có $TF = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {11} > \sqrt 6$.

Do đó một người dùng ở vị trí F thì không nhận được tín hiệu sóng của trạm.

d) Nếu hai người dùng đều nhận được tín hiệu của trạm phát sóng thì khoảng cách giữa hai người nhỏ hơn hoặc bằng đường kính phủ sóng là $2\sqrt 6$ km.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Đường thẳng d đi qua M(4; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)$ .

b) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 0), R = 2.

c) d) Tọa độ giao điểm của d và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {0^2} = 4\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{t^2} + 8t + 6 = 0\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 3\end{array} \right.\\x = 4 + t\\y = - 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$ .

Với t = −1 thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow A\left( {3;0;0} \right)$ .

Với t = −3 thì $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( {1;2;0} \right)$ .

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(20; 30; 10), R = 20.

Ta có $IJ = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 10$.

Ta có tam giác IJM vuông tại J.

Có $JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{10}^2}} = 10\sqrt 3 \approx 17{,}3$ m.

Trả lời: 17,3.

Mặt cầu có tâm I(1; 3; −2) và R = 7.

Giả sử A(4; 7; −2).

Khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu đèn LED là $IA = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2}} = 5$.

Trả lời: 5.

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 4; 2).

Độ cao mực nước bằng khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (Oxy).

Ta có d(I, (Oxy)) = 2.

Vậy độ cao mực nước là 2 mét.

Trả lời: 2.

Mặt cầu (S) có tâm I(−3; 9; −12). Suy ra a = −3; b = 9; c = −12.

Do đó a + 2b – 3c = −3 + 2.9 – 3.(−12) = 51.

Trả lời: 51.

Vì I ∈ △ nên $I\left( {2 - 3t;1 + 2t;1 + 2t} \right)$.

Vì $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3t + 2 + 4t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$

$\Leftrightarrow \left| { - 3t} \right| = \left| {6 - 3t} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3t = 6 - 3t\\ - 3t = 3t - 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow t = 1$.

Với $t = 1$ thì $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1$.

Đường kính của mặt cầu là 2.

Trả lời: 2.