20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tọa độ của vectơ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

$\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 1;3} \right)$Þ A(2; −1; 3); $\overrightarrow {OB} = \left( {5;2; - 1} \right)$Þ B(5; 2; −1).

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 2;2 + 1; - 1 - 3} \right) = \left( {3;3; - 4} \right)$.

Gọi D(x; y; z)

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( { - 3 - x;1 - y;2 - z} \right)$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\1 - y = 3\\2 - z = - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right.$ Þ D(−4; −2; 9).

Giả sử C(x; y; z).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right)$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y + 1 = 1\\z - 1 = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.$ Þ C(2; 0; 2).

Ta có $\overrightarrow {OA} = 6\overrightarrow i ;\overrightarrow {OC} = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {OO'} = 5\overrightarrow k$.

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {OB'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO'}$$= 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$.

Suy ra B'(6; 8; 5).

a) A(1; 0; −2) $\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + 0\overrightarrow j - 2\overrightarrow k$.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right)$.

c) Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (Oxy) là (−2; 3; 0).

d) Gọi D(x; y; z). Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 6 - y;1 - z} \right)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x = - 3\\ - 6 - y = 3\\1 - z = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 9\\z = - 5\end{array} \right.$ Þ D(7; −9; −5).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) A(1; 1; −1) Þ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k$.

b) Gọi C'(x; y; z). Ta có $\overrightarrow {BC'} = \left( {2; - 6;6} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = 2\\y - 3 = - 6\\z - 0 = 6\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\\z = 6\end{array} \right.$.

Þ C'(2; −3; 6).

c) Vì M Î (Oxy) nên độ dài đoạn AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên mặt phẳng (Oxy). Suy ra M(1; 1; 0).

d) Có O'H // C'K và $O'H = \frac{2}{3}O'E = \frac{1}{3}O'A = \frac{1}{3}C'B = C'K$ nên O'HKC' là hình bình hành.

Do đó $\overrightarrow {HK} = \overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) M(3; −5; 4).

b) M1(0; −5; 0).

c) M2(3; 0; 4).

d) M3(−3; 5; −4) là điểm đối xứng với M qua O.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k$Þ A(−2; 0; 3).

b) Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxz).

c) $\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k$.

d) $\overrightarrow {AB} = \left( {0 + 2; - 1 - 0;6 - 3} \right) = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AA'} = \left( {5 - 1;0;1 - 2} \right) = \left( {4;0; - 1} \right)$.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;2 - 0;5 - 2} \right) = \left( {2;2;3} \right)$.

c) Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 4\\y + 3 = 0\\z - 9 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 3\\z = 8\end{array} \right.$ Þ C'(11; −3; 8).

$\Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( {6; - 3;7} \right)$.

d) Vì $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.$ Þ B'(7; 2; 4).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\overrightarrow i = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow j = \overrightarrow {OE} ,\overrightarrow k = \overrightarrow {OH}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì DABC đều và AO ^ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và $OA = \sqrt 3$.

Vì $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow j$ cùng hướng và $OA = \sqrt 3$ nên $\overrightarrow {OA} = \sqrt 3 \overrightarrow j$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OH} = \sqrt 3 \overrightarrow j + \overrightarrow k$.

Suy ra $S\left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$. Vậy a + b + c = 0 + 3 + 1 = 4.

Trả lời: 4.

Đặt $\overrightarrow F = \left( {x;y;z} \right)$, ta có:

x = 100.cos60°.cos45° = $25\sqrt 2$;

y = −100.cos60°.cos45° = $- 25\sqrt 2$;

z = 100.sin60° = $50\sqrt 3$.

Vậy $\overrightarrow F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)$.

Suy ra a = 25; b = −25; c = 50. Do đó a + b + c = 50.

Trả lời: 50.

Ta có $\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i ;OB = 6\overrightarrow j$.

Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$.

Do đó M(2; 3; 0). Suy ra a = 2; b = 3; c = 0.

Vậy a + b = 5.

Trả lời: 5.

Ta có A(0; 0; 10).

Ta có OH = OB.cos30° $= \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$; OK = OB.cos60° = 7,5.

Suy ra $B\left( {7{,}5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)$ Þ $\overrightarrow {AB} = \left( {7{,}5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$.

Do đó $\overrightarrow {AB} = 7{,}5\overrightarrow i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j - 10\overrightarrow k$.

Suy ra $b = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \approx 13$.

Trả lời: 13.

Ta có M'(−2; 5; 4). Suy ra a + b + c = 7.

Trả lời: 7.