20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn A

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}15}}{{0{,}3}} = 0{,}1$.

Chọn D

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}$$= \frac{{0{,}35.0{,}4}}{{0{,}35.0{,}4 + 0{,}65.0{,}3}} = \frac{{28}}{{67}}$.

Chọn C

$P\left( B \right) = 0{,}3.0{,}2 + 0{,}7.0{,}1 = 0{,}13$.

Chọn C

Gọi A là biến cố “Sản phẩm đó thuộc phân xưởng I”; B là biến cố “Sản phẩm đó bị lỗi”.

Ta có $P\left( A \right) = 0{,}4;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}6;P\left( {B|A} \right) = 0{,}02;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}01$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}4.0{,}02 + 0{,}6.0{,}01 = 0{,}014$.

Chọn B

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân được chọn ở phòng A”; B là biến cố “Bệnh nhân được chọn là nam”.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2};P\left( {B|A} \right) = 0{,}6;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{1}{2}.0{,}6 + \frac{1}{2}.0{,}4 = 0{,}5$.

Chọn D

Ta có $P\left( B \right) = 0{,}2 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0{,}8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}02;P\left( {A|B} \right) = 0{,}04$.

Khi đó $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$$= 0{,}2.0{,}04 + 0{,}8.0{,}02 = 0{,}024$.

Chọn C

Gọi A là biến cố “Ly nhựa đó do máy I sản xuất”;

B là biến cố “Ly nhựa đó bị hư”.

Ta có $P\left( A \right) = 0{,}6;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4;P\left( {B|A} \right) = 0{,}005;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}008$.

Khi đó $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0{,}6.0{,}005 = 0{,}003$.

Chọn D

Gọi A là biến cố “Chiếc bút lấy từ hộp I bỏ sang hộp II là màu xanh”;

B là biến cố “Chiếc bút lấy ra từ hộp II có màu xanh”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{4}$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{3}{4}.\frac{6}{{11}} + \frac{1}{4}.\frac{5}{{11}} = \frac{{23}}{{44}}$.

Chọn B

Gọi A là biến cố “Người đó thực sự bị mắc bệnh”; B là biến cố “người đó có kết quả xét nghiệm dương tính”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{{120}}{{1000}} = \frac{3}{{25}}$; $P\left( B \right) = \frac{{130}}{{1000}} = \frac{{13}}{{100}}$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{{100}}{{120}} = \frac{{10}}{{12}}$.

Khi đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{{25}}.\frac{{10}}{{12}}}}{{\frac{{13}}{{100}}}} \approx 77\%$.

Chọn D

Gọi A là biến cố “người được chọn là đàn ông”; B là biến cố “người được chọn bị mù màu”.

Theo đề có $P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0{,}5$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}05;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}0025$.

Khi đó $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}5.0{,}05 + 0{,}5.0{,}0025 = 0{,}02625$.

Khi đó $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}5.0{,}05}}{{0{,}02625}} = \frac{{20}}{{21}}$.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}8;P\left( {B|A} \right) = 0{,}4;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}55$.

a) $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}2$.

b) $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}8.0{,}4 + 0{,}2.0{,}55 = 0{,}43$.

c) Có $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0{,}8.0{,}4 = 0{,}32 \ne 0{,}8.0{,}43 = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Suy ra A và B là hai biến cố không độc lập.

d) Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}8.0{,}4}}{{0{,}43}} = \frac{{32}}{{43}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân đó hồi phục sau đột quỵ”;

B là biến cố “Bệnh nhân đó được điều trị trong 6 giờ đầu”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}35;P\left( B \right) = 0{,}4;P\left( {AB} \right) = 0{,}3$.

a) $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}35}} \approx 0{,}86$.

b) $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}4 - 0{,}3}}{{0{,}4}} = \frac{1}{4}$.

c) $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}35 - 0{,}3}}{{0{,}6}} = \frac{1}{{12}}$.

d) Có $\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}4.\frac{1}{{12}}}} = 9$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}85 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}15$; $P\left( {\overline B |A} \right) = 0{,}01;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0{,}04$.

a) $P\left( A \right) = 0{,}85$.

b) $P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$.

c) $P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$.

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85.0{,}99 + 0{,}15.0{,}96 = 0{,}9855$.

d) $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}85.0{,}99}}{{0{,}9855}} \approx 0{,}85$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Gọi A là biến cố “Sản phẩm đó photo bởi máy I”;

B là biến cố “Sản phẩm đó photo bị lỗi”.

a) $P\left( {B|A} \right) = 0{,}04$$\Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$.

b) $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}05$ $\Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$.

c) $\overline B$ là biến cố “Sản phẩm lấy ra không bị lỗi”.

Ta có $P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)$$= 0{,}4.0{,}96 + 0{,}6.0{,}95 = 0{,}954$.

d) $P\left( B \right) = 1 - 0{,}954 = 0{,}046$.

Tính $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6.0{,}05}}{{0{,}046}} = \frac{{15}}{{23}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $60\% .50 = 30$.

b) Số viên bi màu vàng đánh số là 50%.30 = 15.

Suy ra số viên bi không đánh số là $80 - \left( {30 + 15} \right) = 35$.

c) Gọi A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”.

B là biến cố “Viên bi lấy ra có màu đỏ”.

Theo đề ta có $P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8};P\left( {\overline B } \right) = \frac{3}{8};P\left( {A|B} \right) = \frac{3}{5};P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{2}$.

Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là

$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$$= \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}$.

d) Xác suất để viên bi lấy ra không có đánh số là $P = 1 - \frac{9}{{16}} = \frac{7}{{16}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Gọi A là biến cố “Người được chọn là nam”; B là biến cố “Người được chọn chơi thể thao”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}4;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}6;P\left( {B|A} \right) = 0{,}7;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5$.

Có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4.0{,}7 + 0{,}6.0{,}5 = \frac{{29}}{{50}}$.

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}4.0{,}7}}{{\frac{{29}}{{50}}}} = \frac{{14}}{{29}} \approx 0{,}48$.

Trả lời: 0,48.

Gọi A là biến cố “Áo thời trang đó thuộc chi nhánh I”; B là biến cố “Áo đó đạt chất lượng cao”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}56;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}44;P\left( {B|A} \right) = 0{,}75;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}68$.

Xác suất chọn được áo chất lượng cao là

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}56.0{,}75 + 0{,}44.0{,}68 \approx 0{,}72$.

Trả lời: 0,72.

Gọi A là biến cố “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”;

B là biến cố “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}$.

Có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}$.

Theo công thức Bayes:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{7}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{7}{{13}}$.

Suy ra $a = 7;b = 13$. Do đó $S = {a^2} + {b^2} = 218$.

Trả lời: 218.

Số học sinh nữ là đoàn viên là 60%.150 = 90 học sinh.

Số học sinh nam là đoàn viên là 50%.100 = 50 học sinh.

Gọi A là biến cố “Chọn được học sinh là đoàn viên”; B là biến cố “Chọn được học sinh nam”.

Ta có $P\left( B \right) = \frac{{100}}{{250}} = \frac{2}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{3}{5}$; $P\left( {A|B} \right) = \frac{{50}}{{100}} = 0{,}5;P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{90}}{{150}} = 0{,}6$.

$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$$= \frac{2}{5}.0{,}5 + \frac{3}{5}.0{,}6 = 0{,}56$.

Trả lời: 0,56.

Gọi A là biến cố “Học sinh đó là nữ”, B là biến cố “Học sinh đó là học sinh giỏi”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}45;P\left( {B|A} \right) = 0{,}3;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}4$.

Xác suất chọn được học sinh giỏi là

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}45.0{,}3 + 0{,}55.0{,}4 = 0{,}355$.

Xác suất chọn được học sinh nữ biết học sinh đó là học sinh giỏi là

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}45.0{,}3}}{{0{,}355}} \approx 0{,}38$.

Trả lời: 0,38.