20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$.

Vì O là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO}$.

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO}$.

Suy ra $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$.

Có $\overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB}$.

Vì M là trung điểm của BB' nên ta có:

$2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'}$ $\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {AB\,} \, = \overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB}$

Do đó:$\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD} \, = \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD}$

$= \overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\overrightarrow {DB} \, + \,\overrightarrow {CD} } \right)$ $= \,\overrightarrow {AD} \, + \left( {\,\,\overrightarrow {CD} \, + \,\overrightarrow {DB} } \right)$$= \,\overrightarrow {AD} \, + \,\overrightarrow {CB}$.

Ta có: $\overrightarrow {BD} \, = \,\,\overrightarrow {B'D'}$. Do đó $\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,\left( {\overrightarrow {B'D'} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \widehat {\,D'B'C'}$

Vì $B'C = \,CD'\, = \,D'B'$nên tam giác $B'CD'$là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {\,D'B'C'}\, = \,60^\circ$. Vậy $\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,60^\circ$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}$.

Xét $\Delta SBA$ vuông tại $B$ ta có: $\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}}$$= \sqrt 3$ . Suy ra: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ$ .

Vì DD' ^ A'C' nên $\overrightarrow {DD'} .\overrightarrow {A'C'} = 0$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = AB.A'C'.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 2.2\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 4$.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ ( qui tắc hình bình hành) suy ra$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}$.

b) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên

$\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .$

c) Ta có$ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0$.

d) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên

$\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$${\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)$.

Vì $SA$vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)$.

$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ ta được $9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN}$.

Do đó $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0$.

b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD}$$= 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}$$= 4\overrightarrow {MG}$.

c) d) Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN}$;

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN}$.

Suy ra $2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN}$$= \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}$$= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD}$$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Hai vectơ $\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {CO}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên hai vectơ này không bằng nhau.

b) Ta có $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO}$.

c) $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$ (vì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG}$.

d) Xét DABC có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{4{a^2} + 9{a^2} - 7{a^2}}}{{2.2a.3a}} = \frac{{6{a^2}}}{{12{a^2}}} = \frac{1}{2}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}$$= 2a.3a.\frac{1}{2} = 3{a^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.

b) Do S.ABCD là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng a Þ SB = SD = a.

c) Do tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo $BD = a\sqrt 2$.

Tam giác SBD có SB = SD = a và $BD = a\sqrt 2$ nên tam giác SBD vuông cân tại S, suy ra $\widehat {SBD} = 45^\circ$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 180^\circ - \widehat {SBD} = 135^\circ$.

d) Ta có $\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ = - {a^2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AA'}$ cùng phương với $\overrightarrow {CM}$ và $AA' = \frac{3}{2}CM$, suy ra $\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM}$.

b) Do $\overrightarrow {AC}$ cùng phương với $\overrightarrow {A'C'}$, suy ra $\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAM}$,

suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \cos \widehat {CAM} = \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

c) Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}$.

d) Ta có $\overrightarrow {B'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AD} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right) = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'}$.

Do đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right)$

$= - A{B^2} + A{D^2} - \frac{2}{3}A{A'^2} = - 1 + 4 - 6 = - 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

$\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0{,}105.9{,}8 = 1{,}029N \approx 1{,}03N$.

Trả lời: 1,03.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO$.

Trọng lượng của vật nặng là $P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)$. Suy ra $4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}$.

Lại có tam giác $ASC$ vuông cân tại $S$ nên

$SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30$.

Vậy $a = 30$.

Trả lời: 30.

Ta có:

$$\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$

$= A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos 60^\circ = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24$.

Trả lời: 24.

Vì BC2 = SB2 + SC2 nên DSBC vuông cân tại S.

Mặt khác SA = AC = SC = 2 Þ DSAC là tam giác đều.

Ta có $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SC} .\left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} } \right) = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA}$$= 0 - \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \widehat {ASC} = - 2.2.\cos 60^\circ = \frac{{ - {2^2}}}{2} = - 2$.

Vậy $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = - 2$.

Trả lời: −2.

Ta có $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}}$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|$$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right|^2}$

$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left( {\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_2}} } \right)$

$$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)$$

$$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {20^2} + {15^2} + {10^2} + 2\left( {20.15.\cos 135^\circ + 20.10.\cos 90^\circ + 10.15.\cos 90^\circ } \right)$$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| \approx 17{,}3$ N.

Trả lời: 17,3.