20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn D

$S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$.

Chọn A

$S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^2} - 2021} \right|dx}$.

Chọn B

$2x - {x^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {4\frac{{{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}$

Chọn B

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_0^3 = {e^3} - 1$.

Chọn C

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx$$= \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{1 + \cos x}}{2}} dx$$= \left. {\frac{\pi }{2}\left( {x + \sin x} \right)} \right|_0^\pi$$= \frac{{{\pi ^2}}}{2}$.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}$.

Chọn D

Diện tích cần tìm là $\int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Chọn A

Thể tích của vật thể được tạo nên là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx}$.

Chọn A

Ta có $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\pi + 1} \right)$.

Chọn B

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left| { - 8} \right|dx} = \int\limits_a^b {8dx}$.

a) Hình phẳng có diện tích S3 khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$.

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là $V = \pi \int\limits_a^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$.

c) ${S_1} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

d) ${S_2} = \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Đường thẳng d đi qua điểm O(0; 0) và (3; 3) nên đường thẳng d có phương trình là $y = x$.

b) Parabol (P): $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua (0; 0), (3; 3), (4; 0) nên (P): $y = - {x^2} + 4x$.

c) ${S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx}$$= \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}$.

d) ${S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {x - \left( { - {x^2} + 4x} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^4 {\left| { - 3x + {x^2}} \right|dx}$$= - \int\limits_0^3 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx} + \int\limits_3^4 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx}$

$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4 = \frac{9}{2} + \frac{{11}}{6} = \frac{{19}}{3}$.

Suy ra $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{19}}{3} = \frac{{27}}{{38}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)_0^1} \right| = - \frac{2}{3}$.

b) Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}$$= - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx}$$= \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{2}{3}$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 2x = x \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 2x - x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}$$= - \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx}$$= \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}$.

d) Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{8\pi }}{{15}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $x\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ cắt vật thể (T) theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) liên tục [−1; 1].

b) $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx}$.

c) Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)$.

d) Thể tích vật thể (T) là $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \frac{{16}}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị $y = {x^2},y = 0,x = 1,x = 2$.

Diện tích phần tô màu là $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_1^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Ta có $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 4} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)dx}$

$= \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_1^2$$= \frac{1}{4} + \frac{{13}}{3} = \frac{{55}}{{12}}$.

Suy ra $a = 55;b = 12 \Rightarrow b - a = - 43$.

Trả lời: −43.

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}} \approx 3{,}35$.

Trả lời: 3,35.

Ta có $\int\limits_0^5 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx}$$= {S_A} - {S_B} = 2 - 3 = - 1$.

Mà $\int\limits_0^5 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right)$.

Suy ra $f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 5 \right) = - 1 + f\left( 0 \right) = - 1 + 4 = 3$.

Trả lời: 3.

Chọn trục Ox sao cho O trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy x thì mặt phẳng đó cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x. Mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)$ cm.

Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2}$.

Dung tích của chậu là $V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx} = \pi \int\limits_0^{16} {{{\left( {10 + \sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {100 + 20\sqrt x + x} \right)dx}$

$= \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi \approx 8109$ cm3.

Trả lời: 8109.

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 5}^{10} {\left| {5 - f\left( x \right)} \right|} = \int\limits_{ - 5}^{10} {\left| {5 - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)} \right|} dx$$= \int\limits_{ - 5}^{10} {\left( {5 + \frac{1}{{100}}{x^3} - \frac{{15}}{{100}}{x^2}} \right)} dx$

$= \left. {\left( {5x + \frac{1}{{400}}{x^4} - \frac{5}{{100}}{x^3}} \right)} \right|_{ - 5}^{10} = 25 + \frac{{275}}{{16}} = \frac{{675}}{{16}}$ (m2).

Suy ra $a = 675$.

Trả lời: 675.