20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: B

Vì $\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)$.

Đáp án đúng: A

Ta có: $2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b = \vec i + 2\vec j + \vec k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\vec b = \left( {3;6;3} \right)$

Do đó: $2\vec a + 3\vec b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)$.

Đáp án đúng: C

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 1} \right).3 + 3.2 = 5$.

Đáp án đúng: D

Gọi $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là trung điểm của đoạn $AB$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 0\\{y_0} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_0} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\frac{3}{2};1} \right)$

Đáp án đúng: D

Gọi $G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $\Delta ABC$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_0} = \frac{{ - 1 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_0} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)$

Đáp án đúng: B

Ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Đáp án đúng: B

Ta có $\left[ {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,3\,\\2\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\, - 1\,\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,0\,\\\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|} \right) = \left( { - 6\,;\,2\,;\, - 2} \right) = - 2\left( {3;\, - 1;\,1} \right)$.

Chọn $\vec d\left( {3; - 1;1} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Đáp án đúng: D

Ta có$\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)$.

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.

Đáp án đúng: D

Gọi điểm $M\left( {x;y;z} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\left( { - 2 - x} \right)\\y - 2 = 2\left( { - 1 - y} \right)\\z - 1 = 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {0;0;3} \right)$.

Đáp án đúng: C

$\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP} \left( {2;\,m - 2;1} \right)$.

Tam giác $MNP$ vuông tại $N \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2\left( {m - 2} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow m - 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 0$.

a) $MN = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {17}$.

b) Có $\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right),\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right)$.

Để tam giác MNP vuông tại N thì $\overrightarrow {NP} .\overrightarrow {NM} = 0$$\Leftrightarrow 6 + 2\left( {m - 2} \right) - 4 = 0$$\Leftrightarrow m = 1$.

c) $\overrightarrow {OM} = \left( {2;3; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k$.

d) $\overrightarrow {ON} = \left( { - 1;1;1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow v = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \left( {1;4;0} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 - 4}}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 1 + 7}}{3}\\{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 5}}{3}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_G} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{7}{3}\end{array} \right.$$G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)$.

b) D(x; y; z). Có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = 1\\7 - y = - 3\\5 - z = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 10\\z = 1\end{array} \right.$ D(−5; 10; 1).

c) Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right),\overrightarrow {MC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)$.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( { - 5 - 4x;15 - 4y;12 - 4z} \right)$.

Để $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l} - 5 - 4x = 0\\15 - 4y = 0\\12 - 4z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = - 5\\4y = 15\\z = 3\end{array} \right.$.

Do đó 4x + 4y + z = 13.

d) $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;5;6} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right).5 + 4.6 = 4$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 7;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;0;0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 7;4} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \ne 0$. Do đó hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

c) Gọi G là trọng tâm ABC.

Khi đó $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$.

Để $T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất thì $\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$ nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (Oyz).

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3}} \right)$.

Suy ra $M\left( {0; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)$. Do đó a + b + c = 1.

d) Có $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {74}$;$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 1$;

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {69}$.

Do đó chu vi tam giác ABC bằng $1 + \sqrt {69} + \sqrt {74}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5$.

b) Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = - \frac{{16}}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 0$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB}$.

Do đó tam giác OAB vuông tại O.

c) Có OA = 3; OB = 4; AB = 5.

Gọi D là chân đường phân giác trong góc $\widehat {AOB}$ D thuộc đoạn AB.

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

$\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{4}$$\Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} \Rightarrow D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)$.

d) Tam giác OAB có diện tích $S = \frac{1}{2}OA.OB = 6$, nửa chu vi $P = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6$

$\Rightarrow r = \frac{S}{p} = 1$ là bán kính đường tròn nội tiếp; chiều cao $OH = \frac{{OA.OB}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}$.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB  I thuộc đoạn OD.

Ta có $\frac{{DI}}{{DO}} = \frac{r}{{OH}} = \frac{5}{{12}}$$\Rightarrow \overrightarrow {DI} = \frac{5}{{12}}\overrightarrow {DO}$ I(0; 1; 1) hay a = 0; b = 1; c = 1.

Vậy S = a + b + c = 2.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Máy bay ở tọa độ (150; 300;9).

c) Vận tốc gió 10 m/s = 36 km/h.

Quãng đường máy bay bay được là 750 + 36 = 786 km.

Do đó tọa độ của máy bay là (150; 1086; 9).

d) Quãng đường máy bay bay được là $800.\frac{1}{2} = 400$ km. Do đó tọa độ máy bay là (150; 686; 9).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Theo đề ta có A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 7; 0), E(0; 0; 5).

Vì K là tâm của ABCD nên K là trung điểm của BD. Suy ra K(3; 3,5; 0).

H  (Oyz)  H(0; 7; 5).

Vì N là trọng tâm của tam giác AHK nên $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\b = \frac{{0 + 3{,}5 + 7}}{3} = \frac{7}{2}\\c = \frac{{0 + 0 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.$.

Do đó P = 2a – 4b + 3c $= 2.1 - 4.\frac{7}{2} + 3.\frac{5}{3} = - 7$.

Trả lời: −7.

Ta có A(100; 150; 30), B(−80; −120; 50).

Khi đó $AB = \sqrt {{{\left( { - 80 - 100} \right)}^2} + {{\left( { - 120 - 150} \right)}^2} + {{\left( {50 - 30} \right)}^2}} \approx 325$ (m).

Trả lời: 325.

Ta có 2 điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (Oxz).

Khi đó MA + MB  AB.

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của AB với mặt phẳng (Oxz).

Suy ra $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương và M  (Oxz).

Giả sử M(x; y; z).

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 5;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3;z - 1} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 3 = - 5k\\z - 1 = 2k\\y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\k = \frac{3}{5}\\z = \frac{{11}}{5}\\y = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {1;0;\frac{{11}}{5}} \right)$.

Do đó $P = 3z - {x^2} = 3.\frac{{11}}{5} - {1^2} = 5{,}6$.

Trả lời: 5,6.

Ta có $\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)$$\Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20}$.

Lại có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)$$\Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12}$.

Do đó hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.

Mặt khác, $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} = \left( { - 2k;0; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 12k} \right)$.

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 30} \right)$ nên $- 12k = - 30 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$.

Vậy $\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = \frac{{175}}{2} = 87{,}5$.

Trả lời: 87,5.

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$ (đơn vị trên phần mềm) khoảng cách ngoài thực tế sẽ là $5\sqrt 2$ km.

Thời gian bay của drone là $\frac{{5\sqrt 2 }}{{80}}$ giờ ≈ 5,3 phút.

Trả lời: 5,3.