20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương trình đường thẳng có đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ với $a,b,c$ đều là các số khác 0, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}.$

Do đó, đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right).$

Đáp án đúng là: C

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 11} \right).$

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$, trong đó điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm thuộc đường thẳng và $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vậy điểm $Q\left( {1; - 3;4} \right)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm $A$ vào các đáp án, ta được đường thẳng $\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{2}$ đi qua điểm $A\left( {3; - 3;2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 4} \right) = - 2\left( { - 2; - 1;2} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow u = \left( { - 2; - 1;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó, phương trình đường thẳng thỏa mãn là: $\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0$ nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( { - 2;3;2} \right),{\overrightarrow u _{{\Delta _2}}} = \left( {1; - 2;4} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{\Delta _1}}},{{\overrightarrow u }_{{\Delta _2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) + 2.4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = 0.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $90^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1; - 2} \right)$ và điểm $A\left( {1;0; - 2} \right).$

đường thẳng ${d_2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2; - 1;2} \right)$ và điểm $B\left( { - 2; - 1;2} \right).$

Xét: $\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;2;3} \right)\\\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = - 3.0 + \left( { - 1} \right).2 + 4.3 = 10\end{array} \right.$

Do đó, hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)$ và ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1;1} \right).$

Suy ra $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $30^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 1;1} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 2} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&0\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)$.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$ là

$$d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.$$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( { - 2;2;1} \right)$, ${\overrightarrow n _P} = \left( {3; - 4;14} \right)$ và $M\left( { - 1;5;2} \right) \in d$

Có $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _P} = - 2.3 + 2.\left( { - 4} \right) + 1.14 = 0\\3.\left( { - 1} \right) - 4.5 + 14.2 - 5 = 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _P} = 0\\M \in \left( P \right)\end{array} \right.$.

Do đó, $d \subset \left( P \right).$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( {2; - 4;1} \right)$, ${\overrightarrow n _P} = \left( {1; - 2;m} \right)$ và $M\left( {1; - 1;3} \right) \in d$

Để $d \bot \left( P \right)$ $\Leftrightarrow {\overrightarrow u _d} = k{\overrightarrow n _P} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k.1\\ - 4 = k.\left( { - 2} \right)\\1 = k.m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( { - 2;1;1} \right)$, ${\overrightarrow n _P} = \left( {2;1 - 2m;{m^2}} \right)$ và $M\left( {2;1;0} \right) \in d$.

Để $d\parallel \left( P \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _P} = 0\\M \notin \left( P \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2.2 + 1 - 2m + {m^2} = 0\\2.2 + 1 - 2m + {m^2}.0 + 1 \ne 0\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 = 0\\6 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\\m \ne 3.\end{array} \right.$$

Suy ra $m = - 1.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và song song với $BC$ là

$$\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}.$$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3t\\z = 1 - t.\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm tam giác $OAB$ là $G\left( {0;2;2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {1;4;2} \right)$, $\overrightarrow {OB} = \left( { - 1;2;4} \right)$;

${\overrightarrow n _P} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&2\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\4&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\{ - 1}&4\end{array}} \right|} \right)$$= \left( {12; - 6;6} \right) = 6\left( {2; - 1;1} \right).$

Do $d$ vuông góc với $\left( {OAB} \right)$ nên ${\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _P} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}.$

Đáp án đúng là: B

Gọi $M\left( {x;y;z} \right) \in \Delta$ khi tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}x - y + z + 3 = 0\\2x + 3y - z - 3 = 0\end{array} \right.$$

Cho $y = 0$, giải hệ phương trình ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = - 3\end{array} \right.$, suy ra $M\left( {0;0; - 3} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;3; - 1} \right)$

Có: $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\2&3\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;3;5} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 3}}{5}.$

Đáp án đúng là: C

Giả sử $A = \Delta \cap {d_1}$, $B = \Delta \cap {d_2}$.

Ta có: $A \in {d_1}$ nên $A\left( {t + 6; - 4t + 4;t + 4} \right)$, $B \in {d_2}$ nên $B\left( {a + 2;2a + 2; - 2a} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {a - t - 4;2a + 4t - 2; - 2a - t - 4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_2}$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_1}}} = 0\\\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_2}}} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - t - 4 + \left( { - 4} \right)\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2a - t - 4 = 0\\a - t - 4 + 2\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2\left( { - 2a - t - 4} \right) = 0\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9a - 18t = 0\\9a + 9t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 0\end{array} \right.$$

Suy ra $A\left( {6;4;4} \right)$ và $B\left( {2;2;0} \right)$.

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và $B$ nên có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2; - 4} \right) = - 2\left( {2;1;2} \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên tọa độ điểm $I\left( {4;3;2} \right)$.

Do đó, phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Gọi $M \in d$ nên $M\left( {2 + t;3 + t;3} \right)$.

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $OMN$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_M} + {x_N}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_M} + {y_N}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_M} + {z_N}}}{3}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 0 + 2 + t + {x_N}\\3 = 0 + 3 + t + {y_N}\\2 = 0 + 3 + {z_N}\end{array} \right.$ $\Rightarrow N\left( { - t; - t; - 1} \right)$.

Mà $N \in \left( \alpha \right)$ nên $- t - t - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Suy ra $M\left( {1;2;3} \right)$, $N\left( {1;1; - 1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {0; - 1; - 4} \right) = - 1\left( {0;1;4} \right).$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$:$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3 + 4t.\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình tham số ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 2t.\end{array} \right.$

Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Điểm $H \in {d_1}$ nên $H\left( {2 + t;1 - t; - 1 + 2t} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2 + t; - 1 - t;3 + 2t} \right)$.

Vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng ${d_1}$ nên $\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {{u_1}}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0$ hay

$\left( {2 + t} \right).1 + \left( { - 1 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {3 + 2t} \right).2 = 0$ $\Leftrightarrow 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}.$

Khi đó $\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right).$

Vì $a,b,c \in \mathbb{Z}$ nên đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AH} = \left( {1;1;0} \right)$.

Vậy $2a - b + c = 2.1 - 1 + 0 = 1.$