20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1. Nguyên hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn C

$\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C$.

Chọn C

$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}$.

Chọn B

$G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx} = F\left( x \right) - x + C$.

Chọn C

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C$.

Chọn A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^3} - 9} \right)dx} = \frac{1}{2}{x^4} - 9x + C$.

Chọn A

$\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

Chọn A

$\int {\left( { - 4{x^3} + 2{x^2} + x - 4} \right)dx} = - {x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x + C$.

Chọn C

$\int {{{\left( {4x + 2} \right)}^2}dx} = \int {\left( {16{x^2} + 16x + 4} \right)dx}$$= \frac{{16{x^3}}}{3} + 8{x^2} + 4x + C$.

Chọn B

Vì $y' = {\left( {2{x^6} + 3} \right)^\prime } = 12{x^5}$ nên $y = 2{x^6} + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $y = 12{x^5}$.

Chọn A

$F\left( x \right) = \int {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)} dx = x + {x^2} + {x^3} + C$ .

Mà $F\left( 1 \right) = 1 + {1^2} + {1^2} + C = 2 \Rightarrow C = - 1$. Khi đó $F\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} - 1$.

Khi đó $F\left( 0 \right) = - 1,F\left( { - 1} \right) = - 2$. Vậy $F\left( 0 \right) + F\left( { - 1} \right) = - 3$.

a) Do $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1$.

b) $y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f\left( x \right)$.

c) Do $y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nên $F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C$.

d) Có $F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1$.

Suy ra $F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30dt} \right) = - 5{t^2} + 30t + C}$.

Do $s\left( 0 \right) = 0$ nên C = 0.

Vậy $s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t$ (m).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là

$s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45$ m.

d) Ta có 72 km/h = 20 m/s.

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 + 45 = 65 (m).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 2x - 4} \right)dx} = {x^3} + {x^2} - 4x + C$.

a) $F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - 2 + C = 0 \Rightarrow C = 2$.

Khi đó $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4x + 2$. Do đó $F\left( 2 \right) = 6$.

b) $F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Khi đó $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4x$. Do đó $F\left( { - 1} \right) = 4$.

c) Có $F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right) = - 2 + C - \left( {4 + C} \right) = - 6$.

d) $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) - 2F\left( 0 \right) = - 2 + C + 4 + C - 2C = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $f'\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - 3 = 0$.

b) $f\left( x \right) = \int {\left( {2{x^2} - x - 3} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C$.

Vì tiếp tuyến của $F\left( x \right)$ tại $M\left( {0;2} \right)$có hệ số góc bằng 0 nên f(0) = 0 $\Rightarrow C = 0$.

Do đó $f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x$.

c) $f\left( 2 \right) = \frac{2}{3}{.2^3} - \frac{{{2^2}}}{2} - 3.2 = - \frac{8}{3}$.

d) $F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$. Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{6} - \frac{{{x^3}}}{6} + 3.\frac{{{x^2}}}{2} + 2$.

Do đó $F\left( 1 \right) = \frac{{{1^4}}}{6} - \frac{{{1^3}}}{6} + 3.\frac{{{1^2}}}{2} + 2 = \frac{7}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = {x^2} + x + C$.

b) $\int {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)dx}$$= \int {\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)dx}$$= \int {\left( {2{x^2} - x - 1} \right)dx}$$= \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x + C$.

c) $G\left( x \right) = {x^2} + x + C$. Có $G\left( 2 \right) = 6 + C = 5 \Rightarrow C = - 1$.

Do đó $G\left( x \right) = {x^2} + x - 1$.

d) $F\left( x \right) = {x^2} + x + C$. Có $F\left( 1 \right) = 2 + C = 2 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^2} + x = x\left( {x + 1} \right)$.

Khi đó $F\left( 1 \right) = 1.2;F\left( 2 \right) = 2.3;...;F\left( {99} \right) = 99.100;F\left( {100} \right) = 100.101$.

Khi đó $\frac{1}{{F\left( 1 \right)}} + \frac{1}{{F\left( 2 \right)}} + ... + \frac{1}{{F\left( {99} \right)}} + \frac{1}{{F\left( {100} \right)}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{99.100}} + \frac{1}{{100.101}}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}}$.

Suy ra $a = 100;b = 101$. Do đó $a + b = 201$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Vì $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow F'\left( {25} \right) = {25^2} = 625$.

Trả lời: 625.

Vận tốc của con cá là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - \frac{t}{5} + 4$.

Vận tốc thực của cá khi bơi ngược dòng là $v\left( t \right) - 2 = - \frac{t}{5} + 2$.

Có $s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{t}{5} + 2} \right)dt} = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t + C$.

Mà $S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$ $\Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t = - \frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 20t} \right) = - \frac{1}{{10}}{\left( {t - 10} \right)^2} + 10 \le 10$.

Vậy khoảng cách xa nhất mà cá hồi có thể bơi ngược dòng để đẻ trứng là 10 km.

Trả lời: 10.

Số lượng vi sinh vật tại thời điểm $x$ giờ chính là

$f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 8x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + C$.

Có $f\left( 3 \right) = 50$$\Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + 5$.

Khi đó $f\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} + {4.6^2} + 5 = 221$.

Trả lời: 221.

Ta có $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}$.

Ta có $H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{2}dx} = \frac{{{x^2}}}{4} + C$.

Vì $H\left( 4 \right) = 4$ nên $C = 0$. Do đó $H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}$.

Suy ra $H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + C$.

Mà $f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow C = - 3$. Do đó $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3$.

Lại có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$. Do đó $F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2$.

Vậy $F\left( 1 \right) = {1^4} + {1^2} - 3.1 + 2 = 1$.

Trả lời: 1.