20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Cấp số cộng có đáp án

Theo định lí ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}$

Đáp án cần chọn là: D

Theo định lí ta có công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$${{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}$$

Đáp án cần chọn là: A

**

Dựa vào định lí ta thấy dãy số$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 1}},n \ge 1}\end{array}} \right.$là cấp số cộng với công sai d = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}} \Leftrightarrow {\rm{d = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - \left( { - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 5}}$

Đáp án cần chọn là: A

Xét đáp A. Ta có: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 5}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ = 5}} - {\rm{2n}} - {\rm{2 = 3}} - {\rm{2n}}$

Xét hiệu: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{3}} - {\rm{2n}}} \right) - \left( {{\rm{5}} - {\rm{2n}}} \right){\rm{ = 3}} - {\rm{2n}} - {\rm{5 + 2n = }} - {\rm{2}}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = −2.

Xét đáp B. Ta có:

$${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{1}}}{\rm{ = 2; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 4 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 8 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}$$

Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp C. Ta có: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}$

Xét hiệu: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}} \right) - \left( {\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 3 = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai ${\rm{d = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}$

Xét đáp D. Ta có: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{3}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{3n}} - {\rm{3}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}}$ Xét hiệu: ${{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}} - \frac{{{\rm{2}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}} - {\rm{2 + 3n}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai${\rm{d = }} - \frac{3}{5}$

Đáp án cần chọn là: B

$${{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12d = }} - {\rm{5 + 12}}{\rm{.3 = 31}}$$

$${{\rm{u}}_{{\rm{15}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 14d = }} - {\rm{5 + 14}}{\rm{.3 = 37}}$$

Đáp án cần chọn là: B

$${{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.2 + 9}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{3}}} \right)} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }} - {\rm{115}}$$

Đáp án cần chọn là: A

$${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}} \Leftrightarrow {\rm{100 = }} - {\rm{5 + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3 = 105}} \Leftrightarrow {\rm{n}} - {\rm{1 = 35}} \Leftrightarrow {\rm{n = 36}}$$

Đáp án cần chọn là: D

$${{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow 483 = \frac{{n\left[ {2\left( { - 1} \right) + \left( {n - 1} \right).2} \right]}}{{}} \Leftrightarrow {\rm{2}}\left[ { - {\rm{2 + 2n}} - {\rm{2}}} \right]{\rm{ = 966}}$$

$\Leftrightarrow {\rm{n}}\left( {{\rm{2n}} - {\rm{4}}} \right){\rm{ = 966}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{4n}} - {\rm{966 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{n = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{n = 23}}}\end{array}} \right.$

Vì ${\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }$nên n = 23

Đáp án cần chọn là: D

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.$

Đáp án cần chọn là: B

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 14}}}\\{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = 129}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{(}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2d) + (}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d) = 14}}}\\{\frac{{{\rm{12}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right]}}{2} = 129}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{12}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right){\rm{ = 258}}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d = }}\frac{{43}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}}\\{d = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Đáp án cần chọn là: C

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}} - {{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ = }} - {\rm{7}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{8}}} - {{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right){\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{7}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 7d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 2}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{d = }} - {\rm{7}}}\\{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d = 0}}}\end{array}} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{5}}}\\{{\rm{d = 2}}}\end{array}} \right.$$

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử cấp số cộng gồm 5 số hạng ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}$.

Theo đề bài ta có ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 22}}$

$${{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{22 = 2 + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{4d = 20}} \Leftrightarrow {\rm{d = 5}}$$

Vậy ta cần viết thêm các số: ${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2 + 5 = 7; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 7 + 5 = 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 12 + 5 = 17}}$Đáp án cần chọn là: B

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{7}}} - {{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 8}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 75}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2d}}} \right){\rm{ = 8}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{4d = 8}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75}}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{d = 2}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75(*)}}}\end{array}} \right.$

Thế d = 2 vào (*) ta được:

$$\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6}}{\rm{.2}}} \right){\rm{ = 75}} \Leftrightarrow \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12}}} \right){\rm{ = 75}} \Leftrightarrow {\rm{u}}_1^2{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 24 = 75}}$$

$$\Leftrightarrow {\rm{u}}_1^2{\rm{ + 14}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{51 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }} - 1}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}}\end{array}} \right.$$

Đáp án cần chọn là: C

Giả sử các góc của đa giác lồi lập thành cấp số cộng gồm 10 số hạng: ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}...{\rm{, }}{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}$.

$^{Tổng các góc của đa giác lồi có 10 cạnh bằng}$1440$^{o}$

Ta có:

$${{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{1440 = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9}}{\rm{.4}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36}}} \right){\rm{ = 2880}}$$

$$\Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36 = 288}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 252}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 126}}$$

Vậy góc nhỏ nhất của đa giác đó bằng 126$^{o}$Đáp án cần chọn là: D

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_4} = - 12}\\{{u_{14}} = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.$

$${{\rm{S}}_{{\rm{16}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 15d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{21}}} \right){\rm{ + 15}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 24}}$$

Đáp án cần chọn là: C

Theo đề bài ta có dãy số chỉ số cây trồng mỗi hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 1.

Ông Sơn đã trồng hết 11325 cây nên ta có:

$${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 11325 = \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} \Leftrightarrow n\left( {2 + n - 1} \right) = 22650$$

$\Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650 \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = - 151\left( L \right)}\\{n = 150\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy có 150 hàng cây được trồng theo cách trên.

Đáp án cần chọn là: B

Vì ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng nên ta có:

$${\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a + c}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( {{\rm{2b}}} \right)^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2ac = 4}}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ở lần cắt đầu tiên có ${{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_1} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

…

Ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Vậy dãy số (T$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu ${{\rm{T}}_{\rm{1}}} = 4$ và công sai d = 3.

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (T$_{n}$) là:

$${{\rm{S}}_{{\rm{100}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{100}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.4 + 99}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 15250}}$$

Đáp án cần chọn là: C

Vì ba số thực a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

$${\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\rm{c = 2b}} - {\rm{a}}\left( 1 \right)$$

Vì ba số thực b, c, d là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

$${\rm{c = }}\frac{{{\rm{b + d}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{b + d = 2c}} \Leftrightarrow {\rm{d = 2c}} - {\rm{b = 2}}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right) - {\rm{b = 4b}} - {\rm{2a}} - {\rm{b = 3b}} - {\rm{2a}}\left( {\rm{2}} \right)$$

Tổng của bốn số thực a, b, c, d bằng 4 nên ta có:

$${\rm{a + b + c + d = 4}} \Leftrightarrow {\rm{a + b + }}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right){\rm{ + }}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2a}}} \right){\rm{ = 4}}$$

$$\Leftrightarrow {\rm{6b}} - {\rm{2a = 4}} \Leftrightarrow {\rm{3b}} - {\rm{a = 2}} \Leftrightarrow {\rm{a = 3b}} - {\rm{2}}$$

Thế a = 3b – 2 vào (1) ta được: ${\rm{c = 2b}} - \left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 2}} - {\rm{b}}$

Thế a = 3b – 2 vào (2) ta được: ${\rm{d = 3b}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 3b}} - {\rm{6b + 4 = 4}} - {\rm{3b}}$

Tổng các bình phương của bốn số thực a, b, c, d bằng 24 nên ta có:

$${{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 24}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{2}} - {\rm{b}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{4}} - {\rm{3b}}} \right)^2}{\rm{ = }}24$$

$$\Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2}{\rm{ = }}24$$

$$\Leftrightarrow 20{b^2} - 40b\,{\rm{ = }}0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{b = 0}}}\\{{\rm{b = 2}}}\end{array}} \right.$$

Với b = 0 ta có: ${\rm{a = 3}}{\rm{.0}} - {\rm{2 = }} - {\rm{2; c = 2}} - {\rm{0 = 2; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.0 = 4}}$

Vậy ${\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}$

Với b = 2 ta có: ${\rm{a = 3}}{\rm{.2}} - {\rm{2 = 4; c = 2}} - {\rm{2 = 0; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.2 = }} - {\rm{2}}$

Vậy${\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}$

Đáp án cần chọn là: D