20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right) = - 3\left( {1; - 2} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}}$.

Do đó $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương.

Lại có $\left( { - 1;0} \right)$ thuộc ${\Delta _1}$ nhưng không thuộc ${\Delta _2}$. Do đó ${\Delta _1}//{\Delta _2}$. Chọn D.

Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;2} \right)$.

Hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng ${d_1}$. Chọn C.

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 3} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;4} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Có $4 \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot 4 = 0$ nên $\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}}$. Do đó ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$. Chọn A.

Phương trình đường thẳng $BC$ là $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0$.

Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh $A$ bằng $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{5}$. Chọn C.

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$.

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{n_2}}$ nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có $A\left( {1;3} \right)$ thuộc ${d_1}$ và thuộc ${d_2}$ nên hai đường thẳng này trùng nhau. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

$\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{5}$. Chọn B.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

Đường thẳng $d'$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$. Chọn A.

a) Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$.

b) Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $\left( { - 4;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0$.

c) Ta có $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$ và $\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Ta thấy $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {n'}$ không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{29\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \varphi = 45^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)$.

b) Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)$.

c) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;1} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta thấy không thỏa mãn.

Do đó $A\left( {1;1} \right)$ không nằm trên đường thẳng $d:3x - 4y + 2 = 0$.

d) $d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{5}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _3}$ là $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;3} \right)$.

b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1}$ có tọa độ là $\left( {2; - 5} \right)$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 5} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)$.

Hai vectơ này không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\x + 3y - 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ là $\left( {2;1} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\left( {1; - 1} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt $Ox$ tại $C\left( {3;0} \right)$ và cắt $Oy$ tại $D\left( {0;3} \right)$.

Khi đó ${S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$.

d) Giả sử $\Delta$ cắt tia $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)$ với $a > 0,b > 0$.

Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Vì $\Delta$ đi qua $N$ nên $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

$\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9$$\Rightarrow a + b \ge 9$ hay $OA + OB \ge 9$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $OA + OB$ bằng 9.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là $\left( {3; - 4} \right)$ nên nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Lại có $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0$. Do đó ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

c) Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( {1;3} \right)$.

Giả sử $I\left( {a;b} \right)$.

Theo đề ta có $IO = IA = IM$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _1}$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên có dạng: $x + 3y + c = 0$.

Lại có $d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10}$ nên $\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10}$$\Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.$.

Vì $a;b;c \in \mathbb{N};a < 2$ nên $x + 3y + 11 = 0$.

Do đó $a = 1;b = 3;c = 11$. Vậy $T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50$.

Trả lời: 50.

Ta có $\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$ và $\overrightarrow {n'} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ và $\Delta '$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$ nên ta có

$\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}$$= \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \varphi = 60^\circ$.

Trả lời: 60.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( { - 5;3} \right)$.

Ta có $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 \cdot 3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1{,}67$.

Trả lời: 1,67.

Vì $\Delta$ song song với $d$ nên ta có $\Delta :3x + 4y + c = 0$.

Lại có $d\left( {A,\Delta } \right) = 1$ nên $\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1$$\Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.$.

Mà $c > - 5$ nên $c = - 2$.

Vậy $3x + 4y - 2 = 0$.

Suy ra $b = 4;c = - 2$. Vậy $b + c = 2$.

Trả lời: 2.

Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0{,}00483 \Rightarrow \varphi \approx 89{,}7^\circ$.

Trả lời: 89,7.