20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB\,} \cdot \overrightarrow {AC\,}$$= \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)$$= AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}$$= a \cdot a \cdot \cos 60^\circ$$= \frac{1}{2}{a^2}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot AD$ do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$.

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC}$ khi đó ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}$.

Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ có

$\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}$ $= \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}$.

Do đó $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)$$= CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}$$= 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 120 \circ$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3 = - 1$.

Đáp án đúng là: C

Do $\overrightarrow u = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow u = \left( {1; - 5} \right)$, $\overrightarrow v = k\overrightarrow i + 2\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow v = \left( {k;2} \right)$.

Vectơ $\overrightarrow u$ và vectơ $\overrightarrow v$ vuông góc nên $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot k + \left( { - 5} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow k - 10 = 0 \Leftrightarrow k = 10$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3;5} \right)$.

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right| = {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2}$. Do đó, $\left| {\overrightarrow u } \right| = {\sqrt {{3^2} + {5^2}} ^2} = 34$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }}$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng $45^\circ$, suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\left( 1 \right)$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {90 + 10{y^2}} = 6 - 4y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 4y \ge 0\\90 + 10{y^2} = {\left( {6 - 4y} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\{y^2} - 8y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Công sinh bởi lực $\vec F$ được tính bằng công thức

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = 4500\,\,\left( {\rm{J}} \right)$.

Vậy công sinh bởi lực $\vec F$ có độ lớn bằng 4500 (J).

a) Sai. Ta có $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC}$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA \bot BC$, suy ra $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}$

$= \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.$ ($BC = AD = 3a$).

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3} \right)$.

c) Sai. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 5$.

d) Đúng. Ta có $\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {25} }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ = 3{a^2}$.

b) Sai. Do $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

c) Đúng. Vì $J \in AC$ và $12AJ = 7AC$ nên $\overrightarrow {AJ} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

Khi đó, $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0$.

Vậy $AI \bot BJ$.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4 - 1;3 - 2} \right) = \left( { - 5;1} \right)$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - t;\;2 - 0} \right) = \left( {1 - t;\;2} \right)$.

c) Sai. $\overrightarrow {MB} = \left( { - 4 - t;\;3 - 0} \right) = \left( { - 4 - t;\;3} \right)$

$\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {1 - t} \right) \cdot \left( { - 4 - t} \right) + 2 \cdot 3 = - 4 - t + 4t + {t^2} + 6 = {t^2} + 3t + 2$.

d) Đúng. Để $\widehat {AMB} = 90^\circ$ thì $\overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 2\end{array} \right.$.

Vậy có hai giá trị của $t$ để $\widehat {AMB} = 90^\circ$.

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là $40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3$, người thứ hai kéo một lực là $80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80$.

b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc $30^\circ$ và phương lực $\overrightarrow {{F_2}}$ song song mặt đường nên $\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ$.

c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$.

Suy ra độ lớn của $\overrightarrow F$ là: $F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2} = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}$.

d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.$.

Khi đó $a + b = 1021$.

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = - 3$.

$${\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37$$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} \approx 6{,}1$.

Đáp án: 6,1.

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .$

Suy ra $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}} = 4.$

$P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)$

$= \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)$$= \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) = - 2.$

Đáp án: −2.

Do điểm $M$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên hai vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {BM}$ cùng phương.

Suy ra tồn tại số thực $t$ sao cho $\overrightarrow {BM} = t\overrightarrow {AB}$ $\left( 1 \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 1} \right)$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}a - 5 = 7t\\b = - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 + 7t\\b = - t\end{array} \right.$.

Suy ra $M\left( {5 + 7t; - t} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;1} \right)$, $\overrightarrow {OM} = \left( {5 + 7t; - t} \right)$.

Mặt khác ta lại có $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ$$\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OM} }}{{OA \cdot OM}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{ - 10 - 15t}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {{{\left( {5 + 7t} \right)}^2} + {t^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ (1)

Bình phương hai vế ta được ${\left( {\frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }}} \right)^2} = \frac{1}{2}$

Suy ra $8{t^2} + 10t + 3 = 0$.

Giải phương trình bậc hai ta có $\left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - \frac{3}{4}\end{array} \right.$.

Thử lại ta có $t = - \frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy $M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)$. Suy ra $a + b = 2$.

Đáp án: 2.

Máy bay $M$ chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có $M,A,B$ thẳng hàng hay $\overrightarrow {AM} = \left( {a + 5;b - 5} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {7;1} \right)$ cùng phương.

Khi đó, ta có $\frac{{a + 5}}{7} = \frac{{b - 5}}{1} \Leftrightarrow a - 7b = - 40$ (1).

Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là $OM$, $OM$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $O$ trên $AB$ hay $\overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow {AB}$ $\left( {M \equiv H} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow 7a + b = 0$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a - 7b = - 40\\7a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{5}\\b = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.$. Vậy $20a - 15b = - 100$.

Đáp án: −100.

Dựng hình bình hành $ABCM.$ Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB}$.

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB$.

Xét tam giác $CMB$ có

$M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ = 4900$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900} = 70$ N.

Góc tạo bởi lực $\vec F$ và phương chuyển động là $\widehat {BMC}$ với

$\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}$.

Gọi $MD$ là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực $\vec F$ là:

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow {MD} = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;$J.

Đáp án: 1820.