20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB\,} \cdot \overrightarrow {AC\,}$$= \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)$$= AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}$$= a \cdot a \cdot \cos 60^\circ$$= \frac{1}{2}{a^2}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot AD$ do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$.

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC}$ khi đó ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}$.

Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ có

$\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}$ $= \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}$.

Do đó $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)$$= CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}$$= 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 120 \circ$.

Đáp án đúng là: B

Công sinh bởi lực $\vec F$ được tính bằng công thức

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = 4500\,\,\left( {\rm{J}} \right)$.

Vậy công sinh bởi lực $\vec F$ có độ lớn bằng 4500 (J).

Đáp án đúng là: A

Vì hình thang vuông $ABCD$ có đường cao là $AD$ nên $AD \bot AB$ và $AD \bot DC$.

Suy ra $\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$ và $\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 0$.

Khi đó, $\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AD} = - {\overrightarrow {AD} ^2} = - {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} = - 9{a^2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {BC}$$= \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left| {\vec a - \vec b} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\vec a^2} - 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 16$

$\Leftrightarrow {4^2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \alpha + {3^2} = 16 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{3}{8}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {NM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

Suy ra $\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{2}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}$

$= \frac{2}{9} \cdot {3^2} + \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{{13}}{2}$.

Mặt khác $\left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {10} ,\,\,\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}$.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC}$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA \bot BC$, suy ra $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}$

$= \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.$ ($BC = AD = 3a$).

a) Sai. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ = 3{a^2}$.

b) Sai. Do $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

c) Đúng. Vì $J \in AC$ và $12AJ = 7AC$ nên $\overrightarrow {AJ} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

Khi đó, $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0$.

Vậy $AI \bot BJ$.

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là $40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3$, người thứ hai kéo một lực là $80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80$.

b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc $30^\circ$ và phương lực $\overrightarrow {{F_2}}$ song song mặt đường nên $\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ$.

c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$.

Suy ra độ lớn của $\overrightarrow F$ là: $F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2} = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}$.

d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.$.

Khi đó $a + b = 1021$.

a) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

b) Sai. $\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .$

c) Đúng. $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .$

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)$

$= \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}$

Ta có ${\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}$.

${\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.$

$\Rightarrow {\overrightarrow {AF} ^2} = {\overrightarrow {EF} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF$. Vậy tam giác $AEF$ vuông cân tại $F$.

a) Sai. Xét tam giác vuông $ABC$ có: $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$,

$\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = {a^2}$.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\cos \widehat {ACB}$

$= - CB \cdot CA \cdot \cos 30^\circ = - 2a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - 3{a^2}.$

d) Đúng. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - 3{a^2}$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - {a^2} - 3{a^2} = - 4{a^2}$.

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = - 3$.

$${\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37$$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} \approx 6{,}1$.

Đáp án: 6,1.

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .$

Suy ra $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}} = 4.$

$P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)$

$= \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)$$= \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) = - 2.$

Đáp án: −2.

Dựng hình bình hành $ABCM.$ Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB}$.

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB$.

Xét tam giác $CMB$ có

$M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ = 4900$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900} = 70$ N.

Góc tạo bởi lực $\vec F$ và phương chuyển động là $\widehat {BMC}$ với

$\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}$.

Gọi $MD$ là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực $\vec F$ là:

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow {MD} = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;$J.

Đáp án: 1820.

Gọi $\overrightarrow {{v_0}}$ là vận tốc riêng của máy bay $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 700$ (km/h).

$\overrightarrow {{v_1}}$ là vận tốc gió $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 40$ (km/h), $\overrightarrow {{v_2}}$ là vận tốc của máy bay khi gặp gió.

Khi đó $\overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}}$.

Từ giả thiết, dễ thấy $\left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = 45^\circ$.

Ta có ${\overrightarrow {{v_2}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_0}} \cdot \overrightarrow {{v_1}} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| \cdot \cos 45^\circ$

$= {700^2} + {40^2} + 2 \cdot 700 \cdot 40 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 491\,600 + 28\,000\sqrt 2 .$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {491\,600 + 28\,000\sqrt 2 } \approx 729$ (km/h).

Đáp án: 729.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng $\left| {\vec P} \right| = 2500 \times 10 = 25000$ (N).

Trọng lực $\overrightarrow P$ của ô tô hợp với hướng chuyển dời $\overrightarrow {MN}$ một góc $\alpha = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$.

Trọng lực $\overrightarrow P$ được phân tích thành hai thành phần $\overrightarrow {{P_1}}$ và $\overrightarrow {{P_2}} :\overrightarrow P = \overrightarrow {{P_1}} + \overrightarrow {{P_2}}$, trong đó $\overrightarrow {{P_1}}$ có phương vuông góc với mặt dốc, $\overrightarrow {{P_2}}$ có phương song song với mặt dốc.

Ta nhận thấy rằng, $\overrightarrow {{P_1}}$ không có tác dụng đối với chuyển dời $\overrightarrow {MN}$ của xe, còn $\overrightarrow {{P_2}}$ ngược hướng với $\overrightarrow {MN}$. Do đó, công của trọng lực tác động lên xe bằng

$A = \overrightarrow P \cdot \overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow P } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow {MN} } \right) = 25000 \cdot 50 \cdot \cos 105^\circ \approx - 323\,524$ (J) $\approx - 324$ (KJ).

Đáp án: −324.