20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

TH1: Chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có $C_7^2 \cdot C_9^1 = 189$ cách.

TH2: Chọn 1 quả cầu xanh và 2 quả cầu đỏ có $C_7^1 \cdot C_9^2 = 252$ cách.

TH3: Chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu vàng có $C_7^2 \cdot C_{12}^1 = 252$ cách.

TH4: Chọn 1 quả cầu xanh và 2 quả cầu vàng có $C_7^1 \cdot C_{12}^2 = 462$ cách.

TH5: Chọn 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu vàng có $C_9^2 \cdot C_{12}^1 = 432$ cách.

TH6: Chọn 1 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng có $C_9^1 \cdot C_{12}^2 = 594$cách.

Vậy có tất cả $189 + 252 + 252 + 462 + 432 + 594 = 2181$ cách chọn. Chọn D.

Số cách xếp 4 bạn học sinh $A,B,C,D$ vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là

$4! = 24$. Chọn D.

Số cách xếp sao cho $A$ và $F$ ngồi ở hai đầu ghế là $2!$ cách.

4 người còn lại có $4!$ cách.

Vậy có tất cả $2! \cdot 4! = 48$ cách. Chọn A.

a) Có $C_6^3 \cdot C_4^3 = 80$ cách chọn ra 3 loại bánh nhân thịt và 3 loại bánh nhân đậu xanh.

b) Có $C_6^5 = 6$cách chọn ra 5 loại bánh sao cho không có loại bánh nhân đậu xanh nào cả.

c) TH1: Chọn 2 bánh nhân thịt và 1 bánh nhân đậu xanh có $C_6^2 \cdot C_4^1 = 60$ cách.

TH2: Có 1 bánh nhân thịt và 2 bánh nhân đậu xanh có $C_6^1 \cdot C_4^2 = 36$ cách.

Vậy có $60 + 36 = 96$ cách chọn ra 3 loại bánh gồm có cả nhân thịt và nhân đậu xanh.

d) TH1: Chọn 4 bánh nhân thịt và 2 bánh nhân đậu xanh có $C_6^4 \cdot C_4^2 = 90$ cách.

TH2: Chọn 5 bánh nhân thịt và 1 bánh nhân đậu xanh có $C_6^5 \cdot C_4^1 = 24$ cách.

TH3: Chọn 6 bánh nhân thịt có $C_6^6 = 1$ cách.

Vậy có $90 + 24 + 1 = 115$ cách chọn ra 6 loại bánh sao cho số loại bánh nhân thịt nhiều hơn loại bánh nhân đậu xanh.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Số cách chọn được 3 nam và 1 nữ là $C_5^3 \cdot C_8^1 = 80$.

b) Có $C_{13}^4 = 715$ cách chọn 4 người hát tốp ca.

c) Chọn 4 người có số nữ nhiều hơn số nam tức là chọn 3 nữ và 1 nam.

Khi đó có $C_8^3 \cdot C_5^1 = 280$ cách.

d) Có $C_5^2 \cdot C_8^2 = 280$ cách chọn 4 người có số nữ bằng số nam.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.

b) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có $10!$ cách.

c) Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

d) Xếp 5 học sinh lớp 10C trước ta có $5!$ cách.

Ở giữa 5 học sinh có tất cả 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại

C1

C2

C3

C4

C5

Sắp 5 học sinh còn lại vào 6 vị trí trống, ta xếp 3 học sinh lớp 10B, sau đó sẽ sắp 2 học sinh lớp 10A.

Không thể sắp đồng thời 2 học sinh lớp 10B vào 2 vị trí hai đầu vì khi đó chắc chắn sẽ có ít nhất 2 học sinh lớp 10C đứng cạnh nhau. Vậy, có 2 trường hợp thỏa mãn.

TH1: Xếp 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa có $A_4^3$ cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn 1 trong 2 học sinh lớp 10A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để 2 học sinh lớp 10C không đứng cạnh nhau), có 2 cách.

Học sinh lớp 10A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.

Vậy trong trường hợp này có $A_4^3 \cdot 2 \cdot 8 = 384$ cách.

TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại vào hai đầu, có $C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2$ cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp hai học sinh lớp 10A vào vị trí đó, có 2 cách.

Vậy trong trường hợp này ta có $C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2 \cdot 2 = 144$ cách.

Vậy có $5! \cdot \left( {384 + 144} \right) = 63360$ cách.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Số cách chọn 3 thẻ bất kì là $C_{50}^3$.

b) Từ 1 đến 50 có 25 số lẻ. Do đó số cách chọn 3 thẻ có số ghi đều là lẻ bằng $C_{25}^3$.

c) Từ 1 đến 50 có 25 số chẵn. Do đó số cách chọn 3 thẻ có số ghi đều là chẵn bằng $C_{25}^3$.

d) Số cách chọn được ba thẻ trong đó có đúng một thẻ ghi số nhỏ hơn 10 bằng $C_9^1 \cdot C_{41}^2 = 7380$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Số cách lấy ra 3 quả cầu là $C_{10}^3 = 120$ cách.

Số cách lấy ra ba quả cầu không có quả cầu nào màu xanh là $C_5^3 = 10$ cách.

Vậy có $120 - 10 = 110$ cách lấy ra 3 quả cầu trong hộp sao cho có ít nhất một quả màu xanh.

b) TH1: Bắt đầu bằng quả cầu màu xanh.

Có $5!$ cách sắp xếp 5 quả cầu màu xanh.

Có $5!$ cách sắp xếp 5 quả cầu màu trắng.

Khi đó số cách sắp xếp là $5! \cdot 5! = 14400$ cách.

TH2: Bắt đầu bằng quả cầu màu trắng.

Tương tự có 14400 cách.

Vậy có $14400 + 14400 = 28800$ cách.

c) Số cách lấy ra 2 quả cầu trong hộp là $C_{10}^2 = 45$ cách.

d) Số cách lấy một quả cầu trong hộp là 10.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Điều kiện $n \ge 3$

$C_{n - 1}^2 + \frac{{{P_n}}}{{{P_{n - 2}}}} = 449\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!2!}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 449\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + n\left( {n - 1} \right) = 449\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {\frac{{n - 2}}{2} + n - 449} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {3n - 900} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 300\end{array} \right.$. Kết hợp điều kiện ta có $n = 300$.

Vậy 300 có 18 ước nguyên dương.

Vì số 1 xuất hiện 3 lần nên ta coi số cần lập có 8 chữ số từ các chữ số $0;1;1;1;2;3;4;5$.

Khi đó ta có $8!$ số (kể cả số 0 đứng đầu). Tuy nhiên khi hoán vị ba số 1 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả $\frac{{8!}}{{3!}}$.

Xét trường hợp chữ số đầu tiên là số 0. Tương tự ta lập được $\frac{{7!}}{{3!}}$.

Vậy có tất cả $\frac{{8!}}{{3!}} - \frac{{7!}}{{3!}} = 5880$ số thỏa mãn.

TH1: Chọn được 2 viên bi màu xanh có $C_5^2 = 10$ cách.

TH2: Chọn được 2 viên bi màu đỏ có $C_7^2 = 21$ cách.

Vậy có tất cả $10 + 21 = 31$ cách chọn.

Số đường chéo tạo thành là $C_n^2 - n$.

Theo đề ta có $C_n^2 - n = 135$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 135$$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0$$\Leftrightarrow n = 18$.