20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1. Tọa độ của vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $BD$.

Do đó $O\left( { - 1;4} \right)$. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 1 = 4$. Chọn A.

Vì $G$là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left( {1;2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AG} = \left( { - 1; - 1} \right)$. Chọn A.

a) $A\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j$.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;1} \right)$.

c) Gọi $C\left( {x;y} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - x; - 1 - y} \right)$.

Để $OABC$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CB}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\ - 1 - y = - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow C\left( { - 4;1} \right)$.

d) Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là $I\left( {\frac{{1 - 3}}{2};\frac{{ - 2 - 1}}{2}} \right)$ hay $I\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left( {\frac{{1 + 1 + 4}}{3};\frac{{3 + 6 + 3}}{3}} \right)$ hay $G\left( {2;4} \right)$.

b) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {1;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 3 = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;6} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0} \right)$.

Có $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3$. Do đó $ABDC$ là hình thoi (1).

Lại có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0$$\Rightarrow AB \bot AC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $ABDC$ là hình vuông.

d) $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 9$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 12} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {BA} = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {6;12} \right) = 3\left( {2;4} \right) = 3\overrightarrow {BA}$.

Do đó vectơ $\overrightarrow {BA}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {BC}$.

c) Có $\overrightarrow {AC} = \left( {4;8} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 6; - 12} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = 4 \cdot \left( { - 6} \right) + 8 \cdot \left( { - 12} \right) = - 120$.

d) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {OD} = \left( {x;y} \right),\overrightarrow {DB} = \left( {2 - x; - 3 - y} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {8 - x;9 - y} \right)$.

Suy ra

$30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \left( {30x + 19\left( {2 - x} \right) - 3\left( {8 - x} \right);30y + 19\left( { - 3 - y} \right) - 3\left( {9 - y} \right)} \right) = \left( {14x + 14;14y - 84} \right)$.

Mà $30\overrightarrow {OD} + 19\overrightarrow {DB} - 3\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}14x + 14 = 0\\14y - 84 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 6\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 1;6} \right)$.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4} \right);\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9} \right)$.

Có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}}$$= \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 9}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {9^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 135^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Điểm $I$ là trung điểm của $AC$ nên $I\left( {0; - 2} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương nên $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

c) Tọa độ điểm $C'\left( { - 2; - 3} \right)$ đối xứng với điểm $C$ qua trục $Oy$.

d) Dễ thấy $B,C$ nằm cùng phía với trục $Oy$.

Gọi $C'\left( { - 2; - 3} \right)$ đối xứng với điểm $C$ qua trục $Oy$.

Khi đó $CN = C'N$.

Do đó $BN + CN = BN + C'N \ge BC'$.

Để $BN + CN$ bé nhất thì $N$ là giao điểm của $BC'$ với $Oy$ hay $B,N,C'$ thẳng hàng

Vì $N \in Oy \Rightarrow N\left( {0;b} \right)$.

Có $\overrightarrow {NB} = \left( {1;3 - b} \right);\overrightarrow {C'B} = \left( {3;6} \right)$.

Để $B,N,C'$ thẳng hàng thì $\overrightarrow {NB}$ và $\overrightarrow {C'B}$ cùng phương hay $\frac{1}{3} = \frac{{3 - b}}{6} \Rightarrow b = 1$.

Vậy điểm $N$ có tung độ là 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \Rightarrow A\left( {4;1} \right)$.

b) $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)$.

c) $BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 6$.

d) Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

Do $AB \ne BC$ nên tam giác $ABC$ không cân tại $B$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Có $\overrightarrow {NA} = \left( {1 - x;3 - y} \right);\overrightarrow {BN} = \left( {x - 2;y + 4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {BN}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 3\left( {x - 2} \right)\\3 - y = - 3\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{15}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow x - y = \frac{5}{2} - \left( { - \frac{{15}}{2}} \right) = 10$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$$\Rightarrow \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}$.

Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {EA} = \left( {a - 8;b - 3} \right),\overrightarrow {EC} = \left( { - 4;4} \right)$.

Lại có $\overrightarrow {EA} ,\overrightarrow {EC}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {EA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {EC}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 2\\b - 3 = - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( {10;1} \right)$.

Suy ra $T = {10^2} + {1^2} = 101$.

Do $B$ là trọng tâm của tam giác $ACD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 1 + a}}{3} = - 2\\\frac{{1 - 5 + b}}{3} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;13} \right)$.

Vậy $a + 2b = - 6 + 2 \cdot 13 = 20$.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {10; - 5} \right),\overrightarrow {BE} = \left( {a - 7;a - b + 1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BE} = 2025$ nên $10\left( {a - 7} \right) - 5\left( {a - b + 1} \right) = 2025$$\Rightarrow 5a + 5b = 2025 + 75$$\Rightarrow a + b = 420$.

Ta có ${S_{ABCD}} = 3{S_{ABD}} \Rightarrow {S_{BDC}} = 2{S_{ABD}}$$\Rightarrow \frac{{BC}}{{AD}} = 2$.

Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right)$.

Lại có $ABCD$ là hình thang nên $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) = - 7\\2\left( {y + 1} \right) = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow x - y = - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = 1$.