20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 3. Phương trình đường thẳn (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng $d \bot \Delta$ nên $d$ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)$ của đường thẳng $\Delta$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {5;3} \right)$.

Khi đó $d$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.$. Chọn B.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 1; - 2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ có phương trình là

$2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y + 12 = 0$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;3} \right)$.

Đường thẳng $MN$ đi qua điểm $M\left( {0; - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.$. Chọn C.

Ta có $M\left( { - 2;1} \right)$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2} \right)$.

Đường trung tuyến $AM$ đi qua $A\left( { - 2;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3 - 2t\end{array} \right.$. Chọn C.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 5;4} \right)$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {4;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {3;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {4;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0$. Chọn B.

a) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta thấy không thỏa mãn.

Do đó $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$.

c) Đường thẳng song song với $\Delta$ có dạng $x - 3y + c = 0$ $\left( d \right)$.

Lại có $\left( d \right)$ đi qua $M$ nên $1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4$.

Vậy $\left( d \right):x - 3y - 4 = 0$ hay $- x + 3y + 4 = 0$.

d) Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;4} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$. Suy ra đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow n = \left( {4;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {4;3} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 6} \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 3 - 6t\end{array} \right.$.

d) $M\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)$ là trung điểm của $BC$.

Có $\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5; - 8} \right)$.

Do đó đường trung tuyến $AM$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 5; - 8} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5; - 2} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)$.

Đường thẳng đi qua $M\left( {0; - 3} \right)$ song song với $d$ nhận $\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.$.

b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {5; - 2} \right)$.

c) Đường thẳng đi qua $M\left( {1;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y - 7 = 0$.

d) Cho $x = 0$ thì $- 2y + 2024 = 0 \Leftrightarrow y = 1012$.

Vậy đường thẳng $d$cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng 1012.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 12} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {0;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng ${d_2}$ không đi qua điểm $A\left( {0;3} \right)$.

c) Đường thẳng $\Delta //{d_2}$ có dạng $x + 2y + c = 0$.

Mà $\Delta$ đi qua $I\left( {2;1} \right)$ nên $2 + 2 \cdot 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 4$.

Vậy $x + 2y - 4 = 0$.

d) $M \in {d_2}$ nên $M\left( {3 - 2b;b} \right)$.

Khi đó $I{M^2} = {\left( {1 - 2b} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1$$\Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 1 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vì $b \ge 1$ nên $b = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)$. Khi đó $a + b = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $A\left( { - 4;2} \right)$.

b) Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$.

c) Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $A\left( { - 4;2} \right)$ và có $\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0$.

d) Đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm $\left( {1;0} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {u'} = \left( {7;3} \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\end{array} \right.$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Vì $P \in \Delta$ nên $P\left( {a;a + 2} \right)$. Ta có $\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)$.

Do tam giác $MNP$ vuông tại $P$ nên $\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0$$\Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0$$\Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $a = 1 \Rightarrow b = 3$.

Vậy $T = 2a + 3b = 11$.

Tọa độ điểm $A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;6} \right)$.

Tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ là $I\left( { - 1;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right) = 2\overrightarrow n$.

Đường thẳng trung trưc $\Delta$ của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $1\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Vậy $a + b = 4$.

Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$.

Ta có $AH \bot BC$.

Ta có $\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$.

Suy ra $\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của $BC$.

Lại có $AH \bot BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó đường thẳng $AH$ có phương trình là $- \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0$.

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ nên $I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)$.

Đường trung bình D ứng với cạnh đáy $BC$ có dạng $x + y + c = 0$.

Lại có $\Delta$ đi qua $I$ nên $- \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}$.

Vậy $\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0$ hay $\Delta :2x + 2y + 7 = 0$

Suy ra $a = 2;b = 7$. Do đó $a + 2b = 16$.

Dễ thấy $A,B$ nằm khác phía với đường thẳng $d$.

Khi đó $AM + MB \ge AB$.

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm $A,B,M$ thẳng hàng.

Suy ra $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương.

Ta có $M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)$, $\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương nên $\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}$$\Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3$$\Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)$.

Do đó $a + b = - 2$.

Vì $d//\Delta$ nên $d:2x - y + c = 0,c \ne 1$.

Vì $d$ đi qua điểm $M\left( {1; - 2} \right)$ nên $2 \cdot 1 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4$.

Vậy $d:2x - y - 4 = 0$. Suy ra $b = - 1;c = - 4$.

Vậy $T = 2b + c = - 6$.