20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: C

Nhận xét: chỉ có điểm $\left( {0;0} \right)$ không thỏa mãn hệ.

Đáp án đúng là: C

Nhận xét: chỉ có điểm $\left( {0; - 2} \right)$ thỏa mãn hệ.

Đáp án đúng là: C

Thế đáp án, chỉ có $x = 1;y = - \frac{1}{2}$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\Rightarrow$ chọn C.

Đáp án đúng là: D

Cạnh $AC$ có phương trình $x = 0$ và cạnh $AC$ nằm trong miền nghiệm nên $x \ge 0$ là một bất phương trình của hệ.

Cạnh $AB$ qua hai điểm $\left( {\frac{5}{2};\;0} \right)$ và $\left( {0;\;2} \right)$ nên có phương trình $\frac{x}{{\frac{5}{2}}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10$.

Vậy hệ bất phương trình cần tìm là $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5x - 4y \le 10\\4x + 5y \le 10\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5$

$\left( {{d_2}} \right):x + \frac{3}{2}y = 5$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Từ đó, ta suy ra ${S_1} = S$ và ${S_1} \subset {S_2}$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng $x + 4y = 0$ và $2x + y + 3 = 0$.

Ta thấy điểm có tọa độ $\left( { - 4;2} \right)$thuộc miền nghiệm của bất phương trình: $x + 4y > 0$.

Thay tọa độ điểm $\left( { - 4;2} \right)$ vào bất phương trình $2x + y + 3 \le 0$ ta được $2.\left( { - 4} \right) + 2 + 3 \le 0$ (luôn đúng). Suy ra nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x + y + 3 = 0$ chứa điểm $\left( { - 4;2} \right)$ kể cả đường thẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình $2x + y + 3 \le 0$.

Vậy phần không tô màu là hình biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 4y > 0\\2x + y + 3 \le 0.\end{array} \right.$

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.$ là miền trong của tam giác $ABC$ kể cả biên (như hình).

Ta thấy $F = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A$, $B$, $C$.

Tại $A\left( {0; 2} \right)$ thì $F = 2$.

Tại $B\left( {1; 4} \right)$ thì $F = 3$

Tại $A\left( {2; 3} \right)$ thì $F = 1$.

Vậy $\min F = 1$ khi $x = 2$, $y = 3$.

Đáp án đúng là: B

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):x - y = 2$

$\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15$

$\left( {{d_3}} \right):x = 0$

$\left( {{d_4}} \right):y = 0$

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

Từ đó suy ra các khẳng định ở các đáp án A, C, D là đúng.

Đáp án đúng là: C

Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - y - 1 = 0$, đường thẳng ${d_1}$ qua hai điểm $\left( {0;\, - 1} \right)$ và $\left( {1;\,0} \right)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + 2y - 10 = 0$, đường thẳng ${d_2}$ qua hai điểm $\left( {0;\,5} \right)$ và $\left( {2;\,4} \right)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:y = 4$.

Miền nghiệm là ngũ giác $ABCOE$ với $A\left( {4;\,3} \right),\,B\left( {2;\,4} \right),\,C\left( {0;\,4} \right),\,E\left( {1;\,0} \right)$.

Ta có: $F\left( {4;3} \right) = 10$, $F\left( {2;4} \right) = 10$, $F\left( {0;4} \right) = 8$, $F\left( {1;0} \right) = 1$, $F\left( {0;0} \right) = 0$.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức $F\left( {x;y} \right) = x + 2y$ bằng $10$.

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức $F = y - x$ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B$ hoặc $C$.

Chỉ $C\left( {4;1} \right)$ có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.

Vậy ${\rm{min }}F = - 3$ khi $x = 4,y = 1$.

a) Đúng. Hệ đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Thay $\left( { - 2;8} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2 + 2.8 \le 30}\\{8 > 5}\\{ - 2.( - 2) + 6.8 > 40}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{14 \le 30}\\{8 > 5}\\{52 > 40}\end{array}} \right.} \right.$ (đúng).

Vậy $\left( { - 2;8} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

c) d) Sai. Tương tự, ta thay các cặp số $\left( {3\,;1} \right)$ và $\left( { - 2; - 1} \right)$ vào hệ bất phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy đây không phải là các nghiệm của hệ bất phương trình.

a) Đúng. Gọi $x,y$ (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Linh đầu tư vào khoản $X$ và khoản Y. Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y \le 240}\\{y \ge 40}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.$.

b) Sai. Miền nghiệm của hệ trên là miền tam giác $ABC$ với $A\left( {180;60} \right)\,;\,\,B\left( {120;40} \right)$, $C\left( {200\,;\,40} \right)$ như hình vẽ dưới:

c) Sai. Điểm $C\left( {200\,;\,40} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Linh đầu tư vào kho

d) Đúng. Điểm $A\left( {180\,;\,60} \right)$ là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Linh đầu tư vào kho.

a) Đúng. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}26x + 22y \ge 56\\26x + 22y \le 91\\x \le y\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array}\end{array}} \right.$.

b) Sai. Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác $ABCD$ với $A\left( {\frac{7}{6};\frac{7}{6}} \right),B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)$, $C\left( {0;\frac{{91}}{{22}}} \right)$$D\left( {0;\frac{{28}}{{11}}} \right)$ ở hình dưới đây:

c) Đúng. Một nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của hệ bất phương trình với ${x_0},{y_0}$ là $\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( {1;2} \right)$.

d) Sai. Điểm $B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)$ là điểm có hoành độ lớn nhất.

a) Đúng. Gọi $x,y$ lần lượt là số gói thực phẩm loại $X$, loại $Y$ mà bà Lan cần dùng trong một ngày. Ta có: $0 \le x \le 12{,}0 \le y \le 12$.

Số đơn vị canxi được cung cấp là $20x + 20y$. Ta có: $20x + 20y \ge 240$ hay $x + y \ge 12$.

Số đơn vị sắt được cung cấp là $20x + 10y$. Ta có: $20x + 10y \ge 160$ hay $2x + y \ge 16$.

Số đơn vị vitamin $B$ được cung cấp là $10x + 20y$. Ta có: $10x + 20y \ge 140$ hay $x + 2y \ge 14.$

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y \ge 12}\\{2x + y \ge 16}\\{x + 2y \ge 14}\\{0 \le x \le 12}\\{0 \le y \le 12}\end{array}} \right.$ .

b) Đúng. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $ABCDE$ với $A(12;12)$, $B(2;12),C(4;8),D(10;2),E(12;1)$

c) Đúng. Số tiền bà Lan dùng để mua các gói thực phẩm $X,Y$ trong một ngày là: $T = 20x + 25y$ (nghìn đồng).

Tính giá trị của $T$ tại các cặp số $(x;y)$ là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 250 nghìn đồng tại $x = 10;y = 2$.

Vậy để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$ nhưng với chi phí thấp nhất thì mỗi ngày bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại $X$ và 2 gói thực phẩm loại $Y$.

d) Sai. Điểm $\left( {10;8} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$.

a) Đúng. Gọi $x,y$ (xe) lần lượt là số xe loại A và B cần thuê.

Vì một xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4 triệu đồng nên số tiền cần bỏ ra để thuê xe là $F\left( {x;y} \right) = 5x + 4y$(triệu đồng).

b) Đúng. Ta có $x$ xe loại A chở được $30x$ người và $0{,}8x$ tấn hàng; $y$ xe loại B chở được $20y$người và $1{,}6y$ tấn hàng.

Suy ra $x$xe loại A và $y$ xe loại B chở được $30x + 20y$ và $0{,}8x + 1{,}6y$ tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}30x + 20y \ge 180\\0{,}8x + 1{,}6y \ge 8\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\left( * \right)$.

c) Sai. Thay tọa độ điểm $M\left( {4\,;2} \right)$ vào hệ $\left( * \right)$ không thỏa bất phương trình $30x + 20y \ge 180$. Do đó điểm $M\left( {4\,;2} \right)$ không thuộc miền nghiệm của hệ $\left( * \right)$.

d) Đúng.

Miền nghiệm của hệ $\left( * \right)$là tứ giác ABCD (kể cả bờ) với các đỉnh lần lượt là $A\left( {0;9} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {10;0} \right),D\left( {10;9} \right).$

Ta thấy $F\left( {x;y} \right) = 5x + 4y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C,D.$

Tại $A\left( {0;9} \right):F = 36$ (triệu đồng).

Tại $B\left( {4;3} \right):F = 32$ (triệu đồng).

Tại $C\left( {10;0} \right):F = 50$ (triệu đồng).

Tại $D\left( {10;9} \right):F = 86$ (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại A và 3 xe loại B.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ được sản xuất ra. Điều kiện $x$, $y$ nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x > 0\\y > 0\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là $T = 0{,}5x + 0{,}4y$ (triệu đồng).

Ta thấy $T$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A$, $B$, $C$. Vì $C$ có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại $A\left( {60; 0} \right)$ thì $T = 30$ triệu đồng.

Tại $B\left( {40; 30} \right)$ thì $T = 32$ triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là $32$ triệu đồng.

Đáp án: 32.

Gọi $x,\;y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế $\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)$.

Để pha chế $x$ lít nước cam cần $30x$g đường, $x$ lít nước và $x$g hương liệu.

Để pha chế $y$ lít nước táo cần $10y$g đường, $y$ lít nước và $4y$g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)$.

Số điểm đạt được khi pha $x$ lít nước cam và $y$ lít nước táo là $M\left( {x;y} \right) = 60x + 80y$. Bài toán trở thành tìm $x,\;y$ để $M\left( {x\,;\,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left( * \right)$ trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác $ABCDE$.

Tọa độ các điểm: $A\left( {4\,;\,5} \right)$, $B\left( {6\,;\,3} \right)$, $C\left( {7\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,0} \right)$, $E\left( {0\,;\,6} \right)$.

$M\left( {x\,;\,y} \right)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức $M\left( {x\,;\,y} \right)$ ta được:

$M\left( {4\,;\,5} \right) = 640$; $M\left( {6\,;\,3} \right) = 600$, $M\left( {7\,;\,0} \right) = 420$, $M\left( {0\,;\,0} \right) = 0$, $M\left( {0\,;\,6} \right) = 480$.

Vậy giá trị lớn nhất của $M\left( {x\,;\,y} \right)$ bằng $640$ khi $x = 4;\;y = 5$ $\Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b = - 1$.

Đáp án: −1.

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và số sản phẩm loại $II$ được sản xuất (Điều kiện $x,y \ge 0$).

Số máy loại A cần để sản xuất không vượt quá 10 nên $2x + 2y \le 10$ hay $x + y \le 5$.

Số máy loại B cần để sản xuất không vượt quá 4 nên $0x + 2y \le 4$ hay $y \le 2$.

Số máy loại C cần để sản xuất không vượt quá 12 nên $2x + 4y \le 12$ hay $x + 2y \le 6$.

Vì số máy của mỗi nhóm được cho chi tiết trong bảng nên ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 5\\y \le 2\\x + 2y \le 6\end{array} \right.$.

Hệ bất phương trình có miền nghiệm là ngũ giác $OBCDE$ với $O\left( {0;0} \right),B\left( {0;2} \right),$ $C\left( {2;2} \right),D\left( {4;1} \right)$ và $E\left( {5;0} \right)$ (như hình vẽ bên dưới).

Lợi nhuận thu được khi sản xuất $x$ sản phẩm loại I và $y$ sản phẩm loại II là $F\left( {x;y} \right) = 3x + 5y$

Ta thấy $F\left( {0;0} \right) = 0$, $F\left( {0;2} \right) = 10$, $F\left( {2;2} \right) = 16$, $F\left( {4;1} \right) = 17$ và $F\left( {5;0} \right) = 15$ nên lợi nhuận thu được nhiều nhất là 17 triệu đồng khi sản xuất $4$ sản phẩm loại I và $1$ sản phẩm loại II.

Đáp án: 17.

Ta có $x,y$ lần lượt là số sào Đậu và số sào Cà $\left( {0 \le x \le 8{,}0 \le y \le 8\,} \right)$.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 8\\20x + 30y \le 180\end{array} \right.$ (1)

Tiền lãi: $T\left( {x,y} \right) = 3x + 4y$ (triệu đồng).

Bài toán trở về bài toán tìm $x,\,y$ thỏa mãn (1) sao cho $T\left( {x,y} \right)$ lớn nhất và xảy ra tại một trong các điểm $O,\,A,\,B,\,C$. Tại điểm $B$ thì $T\left( {x,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất. Do đó cần trồng 6 sào đậu và 2 sào cà. Hay ta có $x = 6,\,y = 2$$\Rightarrow F = 3x + 2y = 3.6 + 2.2 = 22$.

Đáp án: $22$.

Gọi $x$ là số ly trà sữa, $y$ là số cái bánh flan bán được, $x \ge 20;\,\,\,20 \le y \le 40$.

Số tiền bỏ ra mua trà sữa và bánh flan để bán là: $15x + 3y$ (nghìn đồng).

Do số tiền vốn là 630 nghìn đồng nên: $15x + 3y \le 630$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được là $F = 5x + 2y$, cần tìm $x,y$ để lợi nhuận lớn nhất.

Theo đề ta có hệ BPT: $\left\{ \begin{array}{l}15x + 3y \le 630\\x \ge 20\\20 \le y \le 40\end{array} \right.$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT lên hệ trục toạ độ:

Miền nghiệm của hệ BPT là tứ giác ABCD.

Xét các điểm:

- Điểm $A$ là giao điểm của hai đường $x = 20$ và $y = 20$$\Rightarrow A\left( {20;20} \right)$.

- Điểm $B$ là giao điểm của hai đường $x = 20$ và $y = 40$$\Rightarrow B\left( {20;40} \right)$.

- Điểm $C$ là giao điểm của hai đường $y = 40$ và $15x + 3y = 630$$\Rightarrow x = 34 \Rightarrow C\left( {34;40} \right)$.

- Điểm $D$ là giao điểm của hai đường $y = 20$ và $15x + 3y = 630$$\Rightarrow x = 38 \Rightarrow D\left( {38;20} \right)$.

Khi đó Giá trị lớn nhất của hàm $F = 5x + 2y$ đạt tại một trong bốn đỉnh của tứ giác ABCD.

Với $A\left( {20;20} \right) \Rightarrow F = 5x + 2y = 5.20 + 2.20 = 140$ (nghìn đồng).

Với $B\left( {20;40} \right) \Rightarrow F = 5x + 2y = 5.20 + 2.40 = 180$ (nghìn đồng).

Với $C\left( {34;40} \right) \Rightarrow F = 5x + 2y = 5.34 + 2.40 = 250$ (nghìn đồng).

Với $D\left( {38;20} \right) \Rightarrow F = 5x + 2y = 5.38 + 2.20 = 230$ (nghìn đồng).

Kết luận: Lợi nhuận lớn nhất đạt tại điểm $C\left( {34;40} \right)$, tức là $x = 34$ ly trà sữa, $y = 40$ cái bánh flan. Khi đó lợi nhuận lớn nhất thu được là $F = 5.34 + 2.40 = 250$ (nghìn đồng).

Đáp án: 250.