20 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 31. Hình nón có đáp án

a) Khi quay tam giác $R = HC = 2$ xung quanh trục $\Delta AHC$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $r = AC = a$, chiều cao $h = AB = a\sqrt 3$và đường sinh là cạnh huyền $l = BC$.

Xét tam giác $= 2\sqrt 3$ vuông tại $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH$, theo pythagore, ta có:

$$\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow l = 2a\end{array}$$

Đường sinh của hình nón $2a$ (đvđd)

b) Thể tích hình nón là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{3}$ (đvtt)

Khi quay tam giác $R = HC = 2$ xung quanh trục $AC$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $r = AB = a$, chiều cao $h = AC$và đường sinh là cạnh huyền $l = BC$.

Xét tam giác $= 2\sqrt 3$ vuông tại $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH$, ta có $\frac{8}{{117}}$.

Vậy thể tích hình nón là : $\frac{4}{{21}}$.

Quay tam giác $AA'C$ một vòng quanh trục $AA'$ tạo thành hình nón có chiều cao $AA' = a$, bán kính đáy $r = AC = a\sqrt 2$, đường sinh $l = A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} = a\sqrt 3$.

Diện tích toàn phần của hình nón: $S = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi a\sqrt 2 \left( {a\sqrt 2 + a\sqrt 3 } \right) = \pi \left( {\sqrt 6 + 2} \right){a^2}$.

Khi tam giác $BMC$ quanh quanh trục $AB$thì thể tích hình nón tạo thành là hiệu của thể tích hình nón có đường cao $AB$, đường sinh $BC$ và hình nón có đường cao $AB$, đường sinh $BM$.

Nên $V = \frac{1}{3}AB.\pi .A{C^2} - \frac{1}{3}AB.\pi .A{M^2} = \frac{1}{4}AB.\pi .A{C^2} = 96\pi$.

Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao $h$ và bán kính $r$ là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$

+ Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ thì:

$h = AB = 6cm$ và $r = AC = 8cm$ thì ${V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi$

+ Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$ thì:

$h = AC = 8cm$ và $r = AB = 6cm$ thì ${V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi$

Vậy: $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}$

Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28: 2 = 14*cm* và đường sinh l = 30*cm* nên diện tích xung quanh của chiếc nón là:

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là 110%.1318,8=1450,68 cm$^{2}$

Vì chiếc nón hình nón có đường sinh l = 30*cm* và bán kính đáy R = 40: 2 = 20*cm* nên diện tích xung quanh của chiếc nón là:

S$_{xq}$ = pRl = p. 20. 30 = 600p (cm$^{2}$)

diện tích là cần dùng cho một chiếc nón là: 2. 600p = 1200p cm$^{2}$.

Vậy diện tích là cần dùng làm 5000 chiếc nón là: 500. 1200p = 600000p cm$^{2}$.

Bán kính đáy $R = 5:2 = 2{,}5\,cm$

Thể tích chiếc phểu là $V = \frac{1}{3}.\pi .2,{5^2}.4 \approx 26{,}2\,(c{m^3})$

Bán kính đáy hình nón là $R = 46:2 = 23\,cm$

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30{,}5\,cm$

Diện tích xung quanh của chiếc nón là ${S_{xq}} = \pi .23.30{,}5 \approx 2203{,}8\,(c{m^2})$

Lời giải

Bán kính đáy hình nón là $R = 46:2 = 23\,cm$

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30{,}5\,cm$

Diện tích xung quanh của chiếc nón là ${S_{xq}} = \pi .23.30{,}5 \approx 2203{,}8\,(c{m^2})$

Bán kính đáy hình nón là $R = 46:2 = 23\,cm$

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}} \approx 30{,}5\,cm$

Diện tích xung quanh của chiếc nón là ${S_{xq}} = \pi .23.30{,}5 \approx 2203{,}8\,(c{m^2})$

Bán kính của mái nón lớn nhất là $R = 45:2 = 22{,}5\,m$

Thể tích là $V = \frac{1}{3}.\pi .22,{5^2}.24 \approx 12723{,}5\,\left( {{m^3}} \right)$

Đổi 160cm=1,6m

Bán kính đáy hình nón là $R = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{3.1{,}256}}{{\pi .1{,}6}}} \approx 0{,}9\,(m)$

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt {0,{9^2} + 1,{6^2}} \approx 1{,}84\,\left( m \right)$

Diện tích vải để may một chiếc lều là $S = \pi .0{,}9.1{,}84 \approx 5{,}2\,\,\left( {{m^2}} \right)$

Bán kính mặt đáy là $R = 3:2 = 1{,}5m$

Diện tích chiếu sáng trên nền nhà là $S = \pi .1,{5^2} = 5{,}65\,\left( {{m^2}} \right)$

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy$R = \frac{{50}}{2} = 25\,\left( {cm} \right) = 0{,}25\,\left( m \right)$ và đường cao $h = 30\,\left( {cm} \right) = 0{,}3\,\left( m \right)$.

Gọi $l$ là chiều cao của hình nón$\Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\,\,\left( m \right)$.

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .0{,}25.\frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\,\,\left( {{m^2}} \right)$

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là $S = 1000.\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\,\,\left( {{m^2}} \right)$

Do đó khối lượng lá cần dùng là $\frac{S}{{6{,}13}} \approx 50{,}03\,\left( {kg} \right)$.

Coi khối lập phương có cạnh $1$. Thể tích khối lập phường là $V = 1$.

Từ giả thiết ta suy ra khối nón có chiều cao $h = 1$, bán kính đáy $r = \frac{1}{2}$.

Thể tích lượng nước trào ra ngoài là thể tích ${V_1}$ của khối nón.

Ta có: ${V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}.1 = \frac{\pi }{{12}}$.

Thể tích lượng nước còn lại trong thùng là: ${V_2} = V - {V_1} = 1 - \frac{\pi }{{12}} = \frac{{12 - \pi }}{{12}}$.

Do đó: $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{{12 - \pi }}$.

Gọi a là bán kính đáy hình nón;

${V_1},{V_2}$ lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;

h, ${V_3}$ lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm;

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: $\frac{R}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = \frac{a}{2}$.

Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là ${V_2} = {\textstyle{1 \over 3}}.1.\pi {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}.$

Mặt khác: $\frac{r}{a} = \frac{h}{2} \Rightarrow r = \frac{{ah}}{2}.$

Do đó thể tích nước hình nón dưới ${V_3} = {\textstyle{1 \over 3}}.h.\pi {\left( {{\textstyle{h \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}.$

Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước ${V_1} = {\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2}.$

Lại có: ${V_3} = {V_1} - {V_2} \Rightarrow$$\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} =$${\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2} -$$\frac{{\pi {a^2}}}{{12}}$$\Leftrightarrow 1 + {h^3} = 8 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7}.$

Gọi $R$ là bán kính đáy của cái phểu ta có $\frac{R}{2}$ là bán kính của đáy chứa cột nước

Ta có thể tích phần nón không chứa nước là $V = \frac{1}{3}\pi {\left( R \right)^2}.20 - \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{35}}{6}\pi {R^2}$.

Khi lật ngược phểu Gọi $h$ chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón không chứa nước là $V = \frac{1}{3}\pi \left( {20 - h} \right){\left( {\frac{{R\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right)^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2}$.

$$\frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2} = \frac{{35}}{6}\pi {R^2} \Rightarrow {\left( {20 - h} \right)^3} = 7000 \Rightarrow h \approx 0{,}87$$