2 bài tập Phép quay (có lời giải)

a) Dễ thấy $ABCDEF$ là lục giác đều nên $\widehat{ABF}=\widehat{AFE}=\widehat{FED}=\widehat{EDC}=\widehat{DCB}=\widehat{CBA}={120}^{^{\circ}}$

Ta có tứ giác $ABCF$ nội tiếp đường tròn $\left( R \right)$ nên $\widehat{BCF}=\widehat{BAF}={180}^{^{\circ}}$ hay $\widehat{BCF}+{120}^{^{\circ}}={180}^{^{\circ}}\Rightarrow \widehat{BCF}={180}^{^{\circ}}-{120}^{^{\circ}}={60}^{^{\circ}}$

Tương tự tứ giác $ABDF$ nội tiếp đường tròn $\left( R \right)$ nên $\widehat{BDF}=\widehat{BAF}={180}^{^{\circ}}$ hay $\widehat{BDF}+{120}^{^{\circ}}={180}^{^{\circ}}\Rightarrow \widehat{BDF}={180}^{^{\circ}}-{120}^{^{\circ}}={60}^{^{\circ}}$

Tương tự ta có $\widehat{BEF}={60}^{^{\circ}}$

b) Ba đỉnh $A,C,E$ của tam giác đều $ACE$ chia đường tròn $\left( O \right)$ thành ba cung bằng nhau:

$\text{sd}\overset{\frown}{\text{AC}}\text{=sd}\overset{\frown}{\text{CE}}\text{=sd}\overset{\frown}{\text{EA}}{\text{=120}}^{\text{°}}$

Do đó có 6 phép quay tâm O giữ nguyên tam giác đó là:

Phép quay ${120}^{^{\circ}},{240}^{^{\circ}}$ thuận chiều hoặc ${120}^{^{\circ}}$ ngược chiều.

***Nhận xét:* **Có tất cả 6 phép quay ${120}^{^{\circ}},{240}^{^{\circ}},{3640}^{^{\circ}}$ tâm $O$ thuận chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ giữ nguyên tam giác.

a) Tam giác $ABC$ đều nên $AB = AC$. Do đó C thuộc đường tròn $\left( {A;AB} \right)$.

Xét đường tròn $\left( {A;AB} \right)$, ta có: $\widehat{\text{BAC}}={60}^{^{\circ}}$ $\Rightarrow \text{sd}\widehat{\text{BmC}}={60}^{^{\circ}}$

Khi đó điểm B biến thành điểm C qua phép quay thuận chiều 60$^{o}$ tâm A .

b) Ta có: $sd\widehat{\text{BnC}}={360}^{^{\circ}}-\text{sd}\widehat{\text{BmC}}={360}^{^{\circ}}-{60}^{^{\circ}}={300}^{^{\circ}}$

Khi đó điểm B biến thành điểm C qua phép quay ngược chiều 300$^{o}$ tâm A.

Ta có bốn điểm $A,B,C,D$ thuộc đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Ta có ${\rm{AC}} \bot {\rm{BD}}$. Có 8 phép quay giữ nguyên hình vuông $ABCD$là:

* Phép quay ${180}^{^{\circ}},{270}^{^{\circ}},{360}^{^{\circ}}$ tâm O thuận chiều.

* Phép quay ${90}^{^{\circ}},{180}^{^{\circ}},{270}^{^{\circ}},{360}^{^{\circ}}$ tâm O ngược chiều.

Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $OA = OB = OC = OD$ và $AC \bot BD$.

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOA}={90}^{^{\circ}}$

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D là phép quay ${3.90}^{^{\circ}}={270}^{^{\circ}}$. Khi đó điểm B biến thành điểm A , điểm C biến thành điểm B và điểm D biến thành điểm B .

Các phép quay thuận chiều lần lượt là ${90}^{^{\circ}},{180}^{^{\circ}},{270}^{^{\circ}}$ với tâm O biến các điểm $A,B,C,D$ thành những điểm tương ứng cho bởi bảng sau: