2 bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải

Hướng dẫn giải:

Tổng số tiền cần bỏ ra để in t cuốn sách là 7000 + 50t (nghìn đồng).

Chi phí trung bình của mỗi cuốn sách là $f\left( t \right) = \frac{{7000 + 50t}}{t}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{7000 + 50t}}{t} = 50$.

Vậy y = 50 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(t).

Đáp án đúng là: D

Chi phí trung bình để sản xuất x sản phẩm là $F\left( x \right) = \frac{{60000 + 250x}}{x}$ (nghìn đồng).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{60000 + 250x}}{x} = 250$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26$. Nên đồ thị hàm số f(t) có đường tiệm cận ngang là y = 26.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000x}}{{4x + 25}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000}}{{4 + \frac{{25}}{x}}} = 1250$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 1250.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 300\left( {2 + \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 600$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 600.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{400t}}{{2{t^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\frac{{400}}{t}}}{{2 + \frac{7}{t}}} = 0$.

Do vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = P(t) là đường thẳng y = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \frac{{2000}}{{35}} = \frac{{400}}{7}$.

Do đó đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng $y = \frac{{400}}{7}$ làm tiệm cận ngang, tức là khi số năm x càng lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm càng tiến gần đến $\frac{{400}}{7} \approx 57{,}1$ (triệu đồng).

Đáp án đúng là: B

Gọi y là chiều rộng của đáy bể cá (y > 0, m).

Ta có :$0{,}8xy = 0{,}0128 \Rightarrow y = \frac{{0{,}016}}{x}\left( m \right)$.

Giá thành bể cá được xác định theo hàm số:

$f\left( x \right) = 2.0{,}8\left( {x + \frac{{0{,}016}}{x}} \right).70000 + 100000.x.\frac{{0{,}016}}{x}$ (VNĐ)

$\Rightarrow f\left( x \right) = 112000\left( {x + \frac{{0{,}016}}{x}} \right) + 1600$(VNĐ)

$\Rightarrow f\left( x \right) = 112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}$(VNĐ).

Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}} \right) = + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (112000x + 1600)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1792}}{x} = 0$.

Nên đồ thị hàm f(x) có tiệm cận đứng là x = 0; tiệm cận xiên là y = 112000x + 1600.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}$ $\Rightarrow$ a = 400; b = 3.

Vậy P = a – 2b = 400 – 6 = 394.

Đáp án đúng là: B

Do tấm tôn có diện tích bằng 4 m$^{2}$ nên $xy = 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{x}$

Thùng có chiều cao là 0,5 m và các kích thước còn lại của thùng là: x – 1 và y – 1.

Thể tích của thùng là $V\left( x \right) = 0{,}5.\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{4}{x} - 1} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{x}$

Suy ra: $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$

Suy ra đường thẳng x = 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: A

Do thể tích của bể là 1 m$^{3}$ nên 0,5xy = 1 $\Leftrightarrow$ xy = 2 .

Diện tích toàn phần của bể là $S\left( x \right) = xy + 2.0{,}5.x + 2.0{,}5.y = 2 + x + \frac{2}{x},\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {S\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} = 0$.

Suy ra đồ thị hàm số S(x) có đường tiệm cận xiên là y = x + 2 $\Rightarrow$ a = 1; b = 2.

Vậy P = a$^{2}$ + b$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Giả sử nước muối bơm vào có nồng độ a gam/lít.

Sau t phút, ta có khối lượng muối trong bể là 20at (gam).

Thể tích của lượng nước trong bể sau t phút là 2000 + 20t (lít).

Vậy nồng độ muối sau t phút là $f\left( t \right) = \frac{{20at}}{{2000 + 20t}} = \frac{{at}}{{100 + t}}$ (gam/lít).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{at}}{{100 + t}} = a$ nên đồ thị hàm số y = f(t) có phương trình tiệm cận ngang là y = a = 10.

Từ đó hàm số nồng độ muối trong bể sau khi bơm được t phút là $f\left( t \right) = \frac{{10t}}{{100 + t}}$.

Nồng độ muối sau 1 giờ bơm là $f\left( {60} \right) = \frac{{10.60}}{{100 + 60}} = 3{,}75$ (gam/lít).