19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 32. Hình cầu có đáp án

Gọi $a$ là cạnh của hình lập phương đã cho.

Bán kính của khối cầu là $R = \frac{a}{2}$, nên thể tích của nó là ${V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$$= \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3}$$= \frac{{\pi {a^3}}}{6}$.

Thể tích khối lập phương là ${V_2} = {a^3}$.

Vậy $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{6}$.

Vì quả bóng da hình cầu có bán kính R = 22 : 2 = 11 cm nên diện tích bề mặt của quả bóng là:

$$S = 4\pi {R^2} = 4.3,{14.11^2} = 1519{,}8\left( {c{m^2}} \right)$$

Vậy diện tích da cần dùng để làm quả bóng là $1519{,}8\left( {c{m^2}} \right)$

Vì khinh khí cầu hình cầu có bán kính R = 11 : 2 = 5,5 m nên:

$$S = 4\pi {R^2} = 4.3{,}14.{\left( {5{,}5} \right)^2} = 379{,}94\left( {{m^2}} \right)$$

Vậy diện tích vải dù dùng để làm khinh khí cầu là 379,94 m$^{2}$

a) Vì tháp nước hình cầu có R = 6 : 2 = 3 m nên thể tích của tháp nước là:

$$V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4.3,{14.3^2} = 113{,}04\left( {{m^3}} \right) = 113040\left( {lit} \right)$$

Vậy thể tích của tháp nước là 113040 lít.

b) Một ngày khu dân cư dùng hết số nước là: $113040:5 = 22608\left( {lit} \right)$

Vậy trong một ngày mức bình quân mỗi người dùng 22608 : 1304 = 13,34 lít.

Thể tích hình nón là ${V_1} = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.2R = \frac{2}{3}\pi .{R^3}$

Thể tích nửa hình cầu là ${V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{2}{3}\pi .{R^3}$

Thể tích của toàn bộ khối đồ vật là:

${V_1} + {V_2} = 36\pi$

$\begin{array}{l}\frac{4}{3}\pi .{R^3} = 36\pi \\ \Rightarrow R = 3\end{array}$

Diện tích xung quanh của mặt nón là ${S_1} = \pi R.\sqrt {4{R^2} + {R^2}} = \pi {R^2}\sqrt 5 = 9\sqrt 5 \pi$

Diện tích của nửa mặt cầu là ${S_2} = \frac{1}{2}.4\pi {R^2} = 18\pi$

Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật bằng ${S_1} + {S_2} = 9\pi \left( {\sqrt 5 + 2} \right){\rm{ }}c{m^2}$.

Ta có thể tích hình trụ là ${V_1} = \pi .r{}_1^2.{h_1}$, mà ${r_2} = 2{r_1},\,\,{h_1} = 2{h_2}$

${V_1} = \pi .{\left( {\frac{{{r_2}}}{2}} \right)^2}.2{h_2} = \frac{1}{2}\pi .r_2^2{h_2}$.

Mặt khác thể tích hình nón là ${V_2} = \frac{1}{3}\pi .r_2^2{h_2} = 20 \Rightarrow \pi .r_2^2{h_2} = 60$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Suy ra ${V_1} = \frac{1}{2}.60 = 30\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Vậy thể tích toàn bộ khối đồ chơi bằng ${V_1} + {V_2} = 30 + 20 = 50\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Xét hình nón và quả cầu như hình vẽ bên dưới.

$OI = \frac{{I{K^2}}}{{SI}} = \frac{{{3^2}}}{5} = \frac{9}{5}\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Thể tích chỏm cầu tâm I có bán kính OK là: ${V_2} = \pi .{\left( {IK - OI} \right)^2}.\left( {IK - \frac{{IK - OI}}{3}} \right) = \pi .{\left( {3 - \frac{9}{5}} \right)^2}.\left( {3 - \frac{{3 - {\textstyle{9 \over 5}}}}{3}} \right) = \frac{{468\pi }}{{125}}\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích hình nón có đỉnh S, đáy hình tròn tâm O, bán kính đáy OK là:

${V_1} = \frac{1}{3}.SO.{S_{(O;OK)}}$$\frac{1}{3}.\frac{{16}}{5}.\pi {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2} = \frac{{768\pi }}{{125}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích phần không gian kín giới hạn bởi bề mặt quả cầu và bề mặt trong của vật hình nón là: ${V_1} - {V_2} = \frac{{768\pi }}{{125}} - \frac{{468\pi }}{{125}} = \frac{{12\pi }}{5}\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Đặt $h,\,\,R$ lần lượt là đường cao và bán kính hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis.

Dễ thấy mỗi quả bóng tennis có cùng bán kính $R$ với hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis và $h = 6R$.

Do đó ta có:

Tổng thể tích của ba quả bóng là ${V_1} = 3.\frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {R^3}$;

Thể tích của hình trụ (hộp đựng bóng) là ${V_0} = \pi {R^2}h = 6\pi {R^3}$;

Thể tích phần còn trống của hộp đựng bóng là ${V_2} = {V_0} - {V_1} = 2\pi {R^3}$.

Khi đó tỉ lệ phần không gian còn trống so với hộp đựng bóng là $\frac{{{V_2}}}{{{V_0}}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33$.

Suy ra $a \approx 33$.

Theo bài toán ta có hình vẽ

Thể tích của hình trụ là $V = \pi {.1^2}.2 = 2\pi$.

Vì đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu nên bán kính của mỗi nửa hình cầu là $R = 1$.

Thể tích của hai nửa hình cầu bị khoét đi là ${V_1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{4\pi {{.1}^3}}}{3} = \frac{{4\pi }}{3}$.

Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là ${V_2} = V - {V_1} = 2\pi - \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{3}$.

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là $\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{\frac{{2\pi }}{3}}}{{2\pi }} = \frac{1}{3}$.

$r = \frac{1}{2}l = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R$.

Diện tích mặt cầu ${S_1} = 4\pi {R^2}$

Diện tích toàn phần của hình nón ${S_2} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .\frac{3}{4}R.\frac{3}{2}R + \pi .\frac{9}{{16}}{R^2} = \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}}$

Theo giả thiết: $4\pi {R^2} + \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \frac{{91\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \pi {R^2} = 16$

Vậy ${S_1} = 4\pi {R^2} = 64c{m^2}$

Gọi $R,h$ lần lượt là bán kính đáy và là chiều cao của hình trụ

$h = 6R$

Thể tích của hình trụ ${V_T} = \pi 6{R^3}.$

Khối cầu bên trong hình trụ có bán kính $R$ nên hình cầu có thể tích ${V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Khối nón bên trong hình trụ có bán kính$R$ và chiều cao $h = 4R$ nên hình nón có thể tích ${V_N} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$

Thể tích lượng nước còn lại bên trong hình trụ

$V = {V_T} - \left( {{V_C} + {V_N}} \right) = 6\pi {R^3} - \frac{8}{3}\pi {R^3} = \frac{{10}}{3}\pi {R^3}.$

Vậy $\frac{V}{{{V_T}}} = \frac{5}{9}.$

Gọi $l\,;r$ lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính đáy hình trụ.

Khi đó ta có: $l = 2r$.

Suy ra thể tích hình trụ là ${V_t} = \pi {r_{}}^2l = 2\pi {r_{}}^3.$

Gọi ${h_n};{l_n}$ lần lượt là chiều cao và đường sinh của hình nón.

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}{l_n} = l\\{h_n} = \sqrt {l_{}^2 - {r_{}}^2} = \sqrt 3 {r_{}}\end{array} \right.$.

Khi đó thể tích hình nón là ${V_n} = \frac{1}{3}\pi {r_{}}^2{h_n} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r_{}}^3.$

Do thể tích toàn bộ khối đồ chơi là $50c{m^3}$ nên

$${V_t} + {V_n} = 2\pi {r_{}}^3 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r_{}}^3 = \left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\pi {r_{}}^3 = 50 \Rightarrow \pi {r_{}}^3 = \frac{{150}}{{6 + \sqrt 3 }}.$$

Khi đó thể tích hình trụ là ${V_t} = \pi {r_{}}^2{l_{}} = 2\pi {r_{}}^3 \approx 38{,}8c{m^3}.$

Thể tích chất lỏng $V = \pi {r^2}.\frac{1}{{24}}h = \frac{1}{{24}}\pi {r^2}h$.

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là $V' = \frac{1}{3}\pi {r'^2}h'$.

Mà $\frac{{r'}}{r} = \frac{{h'}}{h} \Rightarrow r' = \frac{{h'}}{h}.r$. Do đó $V' = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{h'}}{h}.r} \right)^2}h' = \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}}$.

Theo bài ra, $V' = V \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}} = \frac{1}{{24}}\pi {r^2}h \Leftrightarrow {h'^3} = \frac{1}{8}{h^3} \Leftrightarrow h' = \frac{h}{2}$.

Thể tích hình trụ bán kính đáy $R$ và có chiều cao bằng $\frac{h}{3}$:

${V_1} = \pi {R^2}.\frac{h}{3} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$.

Thể tích hình nón cụt bán kính đáy lớn $R$, bán kính đáy bé $\frac{R}{2}$và có chiều cao bằng $\frac{{2h}}{3}$:

${V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.\frac{{4h}}{3} - \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}}}{4}.\frac{{2h}}{3} = \frac{7}{{18}}\pi {R^2}h$.

Thể tích hình trụ bán kính đáy $\frac{R}{4}$ và có chiều cao bằng $h$ (phần rỗng ở giữa):

${V_3} = \pi \frac{{{R^2}}}{{16}}.h = \frac{1}{{16}}\pi {R^2}h$.

Thể tích của khối bê tông bằng:

$V = {V_1} + {V_2} - {V_3}$ $= \pi {R^2}h.\left( {\frac{1}{3} + \frac{7}{{18}} - \frac{1}{{16}}} \right)$$= \frac{{95}}{{144}}\pi {R^2}.h \approx 3{,}109\,{{\rm{m}}^3}$.

Gọi $R = 2{,}7\,cm$ là bán kính của viên bi. Ta có bán kính phần trong đáy cốc là $2R$.

Thể tích nước ban đầu là: ${V_1} = \pi {\left( {2R} \right)^2}.4{,}5 = 18\pi {R^2}$.

Thể tích viên bi là: ${V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$.

Thể tích nước sau khi thả viên bi là: $V = {V_1} + {V_2} = 18\pi {R^2} + \frac{4}{3}\pi {R^3} = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)$.

Gọi $h$ là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào.

Ta có: $V = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right) = \pi {\left( {2R} \right)^2}.h \Rightarrow h = \frac{{2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{2} = 5.4\,\left( {cm} \right)$.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu, $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Theo bài ra ta có: $h = 2R$ và $r = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

${V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}$, ${V_2} = \pi {r^2}h = \pi \frac{{3{R^2}}}{4}.2R = \frac{{3\pi {R^3}}}{2}$

$\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{8}{9}$ hay $9{V_1} = 8{V_2}$.

$\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{8}{9}$

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có $h = \frac{{2R - d}}{2} = \frac{{2.25 - 40}}{2} = 5cm$

($d$là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu là:${S_{xq}} = 2\pi Rh$

Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.

${S_{xq}}$ khối trang sức $= 2{S_{xq}}$ khối cầu$- 2{S_{xq}}$ chỏm cầu.

Khối trang sức có ${S_{xq}} = 2.4\pi {R^2} - 2.2\pi Rh = 2.4\pi {.25^2} - 2.2\pi .25.5 = 4500\pi c{m^2} = 0.45{m^2}$

Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là $470.000.0{,}45\pi \simeq 664.000$đồng.