15 bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng sơ đồ hình cây (có lời giải)

Gọi $A$ là biến cố "Ngày thứ Bảy trời nắng" và $B$ là biến cố "Ngày Chủ nhật trời mưa".

Ta có $P(A) = 0{,}7;P(B\mid A) = 0{,}2;P(B\mid \bar A) = 0{,}3$.

Do đó $P(\bar A) = 1 - P(A) = 0{,}3;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0{,}8;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0{,}7$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là

$P(AB) = P(A)P(B\mid A) = 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14.$

Tương tự, ta có

$P(A\bar B) = P(A)P(\bar B\mid A) = 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56;$

$P(\bar AB) = P(\bar A)P(B\mid \bar A) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09;$

$P(\bar A\bar B) = P(\bar A)P(\bar B\mid \bar A) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21.$

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

Gọi $A$ là biến cố "Kiện hành lí có chứa hàng cấm" và $B$ là biến cố "Máy phát chuông cảnh báo". Ta có

$P(B\mid A) = 0{,}95;P(B\mid \bar A) = 0{,}02;P(A) = 0{,}001.$

Do đó $P(\bar A) = 1 - P(A) = 0{,}999;P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0{,}05;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0{,}98$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Do $M = AB$ nên $P(M) = P(AB) = 0{,}00095$.

Do $N = \bar AB$ nên $P(N) = P(\bar AB) = 0{,}01998$.

Gọi $M$ là biến cố "Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh",

$N$ là biến cố "Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ".

Ta có $P(M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0{,}4;P(N\mid M) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Suy ra $\quad P(\bar M) = 1 - P(M) = 0{,}6;\quad P(N\mid \bar M) = \frac{5}{{10}} = 0{,}5$;

$P(\bar N\mid M) = \frac{6}{{10}} = 0{,}6;$ $P(\bar N\mid \bar M) = \frac{5}{{10}} = 0{,}5$

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây ta có: $P(A) = 0{,}16;P(B) = 0{,}24 + 0{,}3 = 0{,}54$

Gọi A là biến cố "Sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi",

B là biến cố "Sinh viên đó tìm được việc làm đúng chuyên ngành".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}3;P(\bar A) = 1 - P(A) = 0{,}7;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0{,}85;P(B\mid \bar A) = 0{,}7$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0{,}15;P(\bar B\mid \bar A) = 1 - P(B\mid \bar A) = 0{,}3$

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: $P(C) = 0{,}255;P(D) = 0{,}49$.

Gọi M là biến cố "Bạn được chọn là nữ";

N là biến cố "Bạn được chọn học tiếng Anh".

Ta có $P(M) = \frac{{C_{\frac{1}{1}}^{C_{45}^1}}}{{C_{45}^1}}\frac{5}{9};P(N\mid M) = 0{,}6;P(N\mid \bar M) = 0{,}7$.

Suy ra $P(\bar M) = 1 - P(M) = \frac{4}{9};P(\bar N\mid M) = 1 - P(N\mid M) = 0{,}4$; $P(\bar N\mid \bar M) = 1 - P(N\mid \bar M) = 0{,}3$.

Ta có sơ đồ hình cây

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có: $P(A) = \frac{2}{{15}};P(B) = \frac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố "UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện".

B là biến cố "Máy tính bị hỏng".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}02;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0{,}1;P(\bar B\mid \bar A) = 1$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0{,}9$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

$P(\overline {AB} ) = 0{,}98$.

Gọi A là biến cố "UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện".

B là biến cố "Máy tính bị hỏng".

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}02;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0{,}1;P(\bar B\mid \bar A) = 1$.

Suy ra $P(\bar B\mid A) = 1 - P(B\mid A) = 0{,}9$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

$P(AB) = 0{,}002$.

Gọi $A$ là biến cố: "Bạn Sơn lấy được bút bi đen";

$B$ là biến cố: "Bạn Tùng lấy được bút bi xanh".

Ta cần tính $P(AB)$.

Vì $n(A) = 5$ nên $P(A) = \frac{5}{{12}}$.

Nếu $A$ xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh. Vậy $P(B\mid A) = \frac{7}{{11}}$.

Theo công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A) = \frac{5}{{12}} \cdot \frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Một phương pháp mô tả trực quan lời giải trên là dùng sơ đồ hình cây.

Trên nhánh OĐ và OX tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen và bút xanh.

Trên nhánh ĐĐ, ĐX tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút đen.

Trên nhánh tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút xanh.

Vậy xác suất cần tính là: $\frac{5}{{12}} \cdot \frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Gọi C là biến cố: "Bạn Sơn lấy được bút bi xanh";

D là biến cố: "Bạn Tùng lấy được bút bi đen".

Ta cần tính ${\rm{P}}({\rm{CD}})$.

Vì $n(C) = 7$ nên $P(C) = \frac{7}{{12}}$.

Nếu C xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp còn lại 11 bút bi với 6 bút bi xanh và 5 bút bi đen. Do đó, $P(D\mid C) = \frac{5}{{11}}$.

Theo công thức nhân xác suất: ${\rm{P}}(CD) = P(C) \cdot P(D\mid C) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu đen là: ${\rm{P}}({\rm{D}}) = \frac{5}{{12}} \cdot \frac{4}{{11}} = \frac{{20}}{{132}}$;

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu xanh là: ${\rm{P}}({\rm{XX}}) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{42}}{{132}}$

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu là: $\frac{{20}}{{132}} + \frac{{42}}{{132}} = \frac{{62}}{{132}} = \frac{{31}}{{66}}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Viên bi được lấy ra có màu đỏ";

$B$ : "Viên bi được lấy ra có đánh số".

Khi đó, xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó được đánh số, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$, được vẽ như sau:

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó có đánh số, là 0,6 .

Chú ý: Áp dụng công thức (*), ta có thể tính:

${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{3}{5} = 0{,}6.{\rm{ }}$

Xét các biến cố:

A: "Quả bóng bàn lấy ra có màu trắng";

B: "Quả bóng bàn lấy ra có đánh số".

Khi đó, xác suất để quả bóng bàn được lấy ra có màu trắng, biết rằng quả bóng bàn đó được đánh số, là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$ được vẽ như sau:

Vậy xác suất để quả bóng bàn được lấy ra có màu trắng, biết rằng quả bóng đó được đánh số, là $\frac{2}{5}$.

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ";

B: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh, là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$, được vẽ như sau:

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh, là $\frac{7}{{18}}$.

Xét hai biến cố sau:

A: "Hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu";

B: "Hộp sữa chua được lấy ra là sữa chua không đường".

Khi đó, xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}$ | B).

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})$, được vẽ như sau:

Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường là ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{6}{{12}} = 0{,}5$

Vi có 9 quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó 3 quyển sách Khoa học và 6 quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bẳng tiếng Việt nên ta có:

$10 + 15 - 9 = 16$ quyển sách viết bằng tiếng Việt,

trong đó có $10 - 3 = 7$ quyển sách Khoa học và $15 - 6 = 9$ quyển sách Nghệ thuật.

Xét hai biến cố sau:

A: "Quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt";

B: "Quyển sách được lấy ra là sách Khoa học".

Khi đó, xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})$.

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})$, được vẽ như sau:

Vậy xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học, là $\frac{7}{{10}} = 0{,}7$.

+ Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố ${E_1},{E_2},{E_3}$ là đồng khả năng.

Do đó $P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}$.

+ Xét ${\rm{P}}\left( {{\rm{H}}\mid {{\rm{E}}_1}} \right)$ : Nếu ${E_1}$ Xảy ra, tức là sau ô cửa số 1 có ô tô: Khi đó sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn mở cửa số 2 hay số 3 với xác suất như nhau.

Do đó $P\left( {H\mid {E_1}} \right) = \frac{1}{2}$.

+ Xét ${\rm{P}}\left( {\rm{H}} \right.$ | $\left. {{{\rm{E}}_2}} \right)$ : Nếu ${{\rm{E}}_2}$ xảy ra tức là sau ô cửa số 2 có ô tô: Khi đó chủ trò chắc chắn phải mở cửa số 3 và thấy con lừa. Do đó ${\rm{P}}\left( {{\rm{H}}\mid {{\rm{E}}_2}} \right) = 1$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất ta có

${\rm{P}}\left( {{{\rm{E}}_1}\mid {\rm{H}}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P(H)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right) \cdot P\left( {H\mid {E_1}} \right)}}{{P(H)}}(1);$

${\rm{P}}\left( {{{\rm{E}}_2}\mid {\rm{H}}} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P(H)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right) \cdot P\left( {H\mid {E_2}} \right)}}{{P(H)}}(2).$

Từ (1), (2) và a) suy ra

$\frac{{P\left( {{E_2}\mid H} \right)}}{{P\left( {{E_1}\mid H} \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right) \cdot P\left( {H\mid {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right) \cdot P\left( {H\mid {E_1}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot 1}}{{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}} = 2.$

Vậy $P\left( {{E_2}\mid H} \right) = 2P\left( {{E_1}\mid H} \right)$.

Theo để bài, nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4 nên $P(M\mid G) = 0{,}4$.

Suy ra: $P(\bar M\mid G) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2 nên $P(M\mid \bar G) = 0{,}2$.

Suy ra: $P(\bar M\mid \bar G) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

$P(GM) = P(G) \cdot P(M\mid G) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$

$P(G\bar M) = P(G) \cdot P(\bar M\mid G) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$

Điều này có nghĩa là tại địa phương T , trong một ngày, xác suất để trời vừa có gió và vừa có mưa là 0,24 ; xác suất để trời có gió nhưng không có mưa là 0,36 .