15 bài tập Một số bài toán liên quan thực tế (có lời giải)

Vì $(Q)//(P)$ nên $(Q)$ có vecơo pháp tuyến là $\vec n = (6;5;1)$.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $6(x - 1) + 5(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y + z - 12 = 0.$

Gọi $M$ là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất.

Khi đó $M(3;4;0)$. Mặt phẳng $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$ và $\overrightarrow {OM} = (3;4;0)$ nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = ( - 4;3;0)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $- 4x + 3y = 0$.

a) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1{\rm{ }}(*)$

b) Thay toạ độ của điểm $D$ vào vế trái của phương trình (*), ta có: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \ne 1$. Suy ra điểm $D$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$.

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là $(ABP)$ và $(CDP)$.

$\bullet$ Do mặt phẳng $(ABP)$ có cặp vectơ chỉphương là $\overrightarrow {AB} = (0;20;1),\overrightarrow {AP} = ( - 5;0; - 3)$ nên có một vectơ pháp tuyến là: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AP} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{20}&1\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\{ - 3}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{20}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = ( - 60; - 5;100).$

Mà mặt phẳng $(ABP)$ đi qua điểm $A(10;0;9)$ nên có phương trình là:

$- 60(x - 10) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x + y - 20z + 60 = 0.$

$\bullet$ Do mặt phẳng $(CDP)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {DP} = (5;0; - 3),\overrightarrow {DC} = (0;20;1)$ nên có một vectơ pháp tuyến là: $[\overrightarrow {DP} ,\overrightarrow {DC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 3}\\{20}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&5\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&0\\0&{20}\end{array}} \right|} \right) = (60; - 5;100).$

Mà mặt phẳng $(CDP)$ đi qua điểm $D(0;0;9)$ nên có phương trình là:

$60(x - 0) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x - y + 20z - 180 = 0.$

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên vởi hệ toạ độ trên ta có $Q(x;20;z)$.

Do điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $(ABP)$ nên toạ độ của điểm $Q$ thoả mãn:

$12x + 20 - 20z + 60 = 0,{\rm{ tức là }}3x - 5z = - 20.{\rm{ }}$

Do điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $(CDP)$ nên toạ độ của điểm $Q$ thoả mãn $12x - 20 + 20z - 180 = 0$, tức là $3x + 5z = 50$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 5z = - 20}\\{3x + 5z = 50}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{z = 7}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $Q(5;20;7)$.

c) Với $P(5;0;6)$ và $Q(5;20;7)$ ta có: $\overrightarrow {PQ} = (0;20;1)$.

a) Giả sử một thí sinh có số điểm Toán, Văn, Tiếng Anh lần lượt là $x$; y; z.

Tổng điểm của thí sinh này là: $x + y + z = 27$.

Điều này có nghĩa là điểm $(x;y;z)$ thỏa mãn phương trình: $x + y + z = 27{\rm{ hay }}x + y + z - 27 = 0.{\rm{ }}$

Do đó tất cả các điểm $(x;y;z)$ biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x +$ $y + z - 27 = 0$.

b) Giả sử S là tổng điểm thi của một thí sinh. Khi đó phương trình biểu diễn các điểm có tổng số điểm thi bằng $S$ là: $x + y + z = S$ hay $x + y + z - S = 0$.

Các mặt phẳng có phương trình dạng: $x + y + z - S = 0$ với $S$ là tổng số điểm thi của các thí sinh là các mặt phẳng song song với nhau vì chúng có cùng vectơ pháp tuyến là $(1;1;1)$.

Do đó, tất cả các điểm ( $x$; $y$; z) biểu diễn kết quả của các thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng song song này.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (0;3;0),\overrightarrow {BC} = ( - 2;2\sqrt 2 - 3;0)$

Sàn nhà nằm trong mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là $\vec k = (0;0;1)$

Suy ra mặt phẳng ${\rm{Oxy}}:{\rm{z}} = 0$.

Mặt phẳng bức tường $({\rm{P}})$ chứa 2 điểm ${\rm{O}},{\rm{A}}$ chính là mặt phẳng Oxz : ${\rm{y}} = 0$.

Mặt phẳng bức tường $({\rm{Q}})$ chứa 2 điểm ${\rm{O}},{\rm{C}}$ chính là mặt phẳng ${\rm{Oyz}}:{\rm{x}} = 0$.

Mặt phẳng bức tường ( a ) chứa 2 điểm ${\rm{A}},{\rm{B}}$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k] = (3;0;0)$ có phương trình là: $3({\rm{x}} - 2) = 0$ hay ${\rm{x}} - 2 = 0$.

Mặt phẳng bức tường $(\beta )$ chứa 2 điểm ${\rm{B}},{\rm{C}}$ có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow {{n^\prime }} = [\overrightarrow {BC} ,\vec k] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\sqrt 2 - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{2\sqrt 2 }\\0&0\end{array}} \right|} \right) = (2\sqrt 2 - 3;2;0)$

có phương trình là: $(2\sqrt 2 - 3)x + 2(y - 2\sqrt 2 ) = 0{\rm{ hay }}(2\sqrt 2 - 3)x + 2y - 4\sqrt 2 = 0$

b) Có bức tường (P) vuông góc với bức tường (Q).

Bức tường (P) vuông góc với bức tường (α).

Chọn các điểm như hình vẽ.

Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng $({\rm{P}})$.

Vi CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của $B D$.

Ta có $CA = d(C,(P)) = \frac{{|1 + 2.2 + 2.4 + 3|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}$

Vì tam giác $C A B$ vuông tại A, có $\widehat{ACB}=\frac{{115}^{^{\circ}}}{2}=57,{5}^{^{\circ}}$

Suy ra $R=AB=CA\cdot \tan 57,{5}^{^{\circ}}\approx 8{,}4$

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng $({\rm{P}})$ của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4 .

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là $a$, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}$.

Khi đó, ta có: O$(0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0)$,

$A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right){\rm{v\`a }}S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)$

Ta có: $\quad \overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right),\quad \overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right){\rm{, }}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)$

Có: $\quad \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$$\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)$

Ta có mặt phẳng $({\rm{SCD}})$ nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

${\rm{ vi }}\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = - \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) - \frac{{{a^2}}}{2} = - \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0$

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Vi mặt phẳng Oxy vuông góc với Oz nên mặt phẳng Oxy nhận $\vec k = (0;0;1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vi mặt phẳng Oxy đi qua điểm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$ nên có phương trình là: $z - 0 = 0$ hay $z = 0$.

Mặt phẳng $z - 1 = 0$ có $\overrightarrow {{n_1}} = (0;0;1)$

vi $\overrightarrow {{n_1}} = \vec k$ và $0 \ne - 1$ nên mặt phẳng chứa sàn nhà song song với trần tầng 1 .

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực $\vec F$ có giá song song với $A B$ nên giá của vectơ $\overrightarrow {OP}$ và $\vec F$ có phương nằm ngang.

Mặt khác $\vec M = [\overrightarrow {OP} ,\vec F]$ nên moment lực $\vec M$ vuông góc với hai vectơ và $\vec F$

Do đó giá của vectơ moment lực $\vec M$ có phương thẳng đứng.

a) Ta có: $AB = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(7{,}5 + 2{,}5)}^2} + {{(0 - 0{,}5)}^2}} = \sqrt {100{,}25} (\;{\rm{km}})$.

Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí $A$ hạ cánh tại vị trí $B$ là:

$\frac{{\sqrt {100{,}25} }}{{300}}(h) = \frac{{\sqrt {100{,}25} }}{{300}},60{\rm{ (phút }} = \frac{{\sqrt {100{,}25} }}{5}{\rm{ (phút) }} = \sqrt {4{,}01} {\rm{ (ph\'u t) }} \approx 2{\rm{ (ph\'u t)}}{\rm{. }}$

b) Giả sử điểm $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra $C \in (\alpha )$. Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là:

$\frac{x}{9} - \frac{y}{9} + \frac{z}{{0.9}} = 1 \Leftrightarrow x - y + 10z = 9.{\rm{ Suy ra }}{x_C} - {y_C} + 10{z_C} = 9.{\rm{ }}$

Mặt khác, vì $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB}$ là hai vectơ cùng hưông nên tồn tại số thực $t > 0$ sao cho $\overrightarrow {AC} = t\overrightarrow {AB}$. Do

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - 3;{y_C} + 2{,}5;{z_C} - 0{,}5} \right);\overrightarrow {AB} = (3 - 3;7{,}5 + 2{,}5;0 - 0{,}5) = (0;10; - 0{,}5){\rm{ }}\\{\rm{nên }}\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} - 3 = 0t}\\{{y_C} + 2{,}5 = 10t}\\{{z_C} - 0{,}5 = - 0{,}5t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 10t - 2{,}5}\\{{z_C} = - 0{,}5t + 0{,}5.}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Vî $C \in (\alpha )$ nên $3 - (10t - 2{,}5) + 10( - 0{,}5t + 0{,}5) = 9 \Leftrightarrow t = 0{,}1$. Suy ra $C(3; - 1{,}5;0{,}45)$.

Vậy tại vị trí $C$, độ cao của máy bay là $0{,}45\;{\rm{km}}$.

a) Vì $B(4k;3k;2k)$ thuộc mặt phẳng $(CBEF):z = 3$ nên $2k = 3$, suy ra $k = \frac{3}{2}$. Vậy $B\left( {6;\frac{9}{2};3} \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = (50;0;0),\overrightarrow {OB} = \left( {6;\frac{9}{2};3} \right)$ nên $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\{\frac{9}{2}}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{50}\\3&6\end{array}} \right|;{\mkern 1mu} \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{50}&0\\6&{\frac{9}{2}}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 150;225).$

Suy ra $\vec n = (0; - 2;3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AOBC)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(AOBC)$ là: $0 \cdot (x - 0) + ( - 2) \cdot (y - 0) + 3 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2y - 3z = 0.$

c) Ta có:$\overrightarrow {OD} = (0;20;0),\overrightarrow {OB} = \left( {6;\frac{9}{2};3} \right)$ nên $[\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{20}&0\\{\frac{9}{2}}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}0&0\\3&6\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{20}\\6&{\frac{9}{2}}\end{array}} \right|} \right) = (60;0; - 120){\rm{. }}$

Suy ra $\vec u = (1;0; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(DOBE)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(DOBE)$ là: $1 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + ( - 2) \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - 2z = 0.$

d) Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AOBC)$ và $(DOBE)$ lần lượt là: $\vec p = (0;2; - 3)$ và $\vec q = ( - 1;0;2)$.

a) Ta có:$\overrightarrow {AB} = (2;2;0),\overrightarrow {AC} = (4;2; - 0{,}5)$ nên $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0\\2&{ - 0{,}5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2\\{ - 0{,}5}&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{llllllllllllllllllll}2&2\\4&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 1;1; - 4)$

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $( - 1) \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 1) + ( - 4) \cdot (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4z - 13 = 0.{\rm{ }}$

b) Vì$4 - 0 + 4 \cdot 2{,}8 - 13 = 2{,}2 \ne 0$ nên điểm $D(4;0;2{,}8)$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.