15 bài tập Khoảng biến thiên (có lời giải)

a) Ta có bảng sau:

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là

40 – 15 = 25 (phút).

Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30).

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là

30 – 20 = 10 (phút).

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: 450 – 250 = 200 (g).

b) Ý kiến đó đúng. Vì: ta thấy trong bảng số liệu, cân nặng lớn nhất quả xoài có thể đạt được là $450\;{\rm{g}}$, còn cân nặng bé nhất quả xoài có thể đạt được là $250\;{\rm{g}}$. Do đó, bất kì hai quả nào cūng có hiệu số cân nặng không vượt quá $200\;{\rm{g}}$

Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{C}}$ là: $185 - 155 = 30(\;{\rm{cm}})$

Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12{\rm{D}}$ là: $180 - 155 = 25(\;{\rm{cm}})$

Vậy nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh lớp 12C có độ phân tán lớn hơn

Đầu mút phải của nhóm ghép cuối cùng là 180, đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên là 30. Vậy khoảng biến thiên của

mẫu số liệu là R = 180 − 30 = 150.

Kết quả này cho biết thời gian sử dụng Internet hằng ngày của các thành viên thuộc nhóm người được điều tra chênh

lệch nhau nhiều nhất là 150 phút.

Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 , ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${{\rm{a}}_1} = 40$, đầu mút phải của nhóm 5 là ${{\rm{a}}_6} = 75$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: ${\rm{R}} = {{\rm{a}}_6} - {{\rm{a}}_1} = 75 - 40 = 35{\rm{ (ta/ha)}}{\rm{. }}$

Gọi ${R_1},{R_2}$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2 .

Ta có: ${R_1} = 90 - 0 = 90$ và ${R_2} = 60 - 0 = 60$.

Do ${R_1} > {R_2}$ nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2 .

a) Khoảng biến thiên $R$ cho mẫu số liệu ghép nhóm là $R = 45 - 25 = 20$.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là $43 - 27 = 16$.

Ta có bảng mẫu số liệu ghép nhóm được viết lại như sau:

Có cờ mẫu ${\rm{n}} = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80$.

Giả sử ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{80}}$ là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}$.

Mà ${x_{20}}; {x_{21}}$ đều thuộc nhóm $[1;2)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [1 ; 2).

Ta có ${Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{80}}{4} - 8}}{{17}}(2 - 1) \approx 1{,}7$.

Tứ phân vị thứ ba của mẵu số liệu là $\frac{{{x_{60}} + {x_{61}}}}{2}$.

Mà ${x_{60}};{x_{61}}$ thuộc nhóm $[3;4)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[3;4)$.

Ta có ${Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{80.3}}{4} - 50}}{{20}}(4 - 3) = 3{,}5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${D_Q} = 3{,}5 - 1{,}7 = 1{,}8$.

a) Hai mẫu số liệu đều có khoảng biến thiên là $R = 100 - 50 = 50$ nên không thể căn cú vào đó để nói điểm của lớp nào đồng đều hơn.

b) Kích thước của hai mẫu số liệu đều là $N = 100$. Ta có $\frac{N}{4} = 25;\frac{N}{2} = 50;\frac{{3N}}{4} = 75$.

- Đối với mẫu số liệu về điểm của lớp $A$, ta tìm các tứ phân vị $Q_1^A,Q_2^A,Q_3^A$ và khoảng tứ phân vị $\Delta _Q^A$ qua bảng tần số tích luỹ dưới đây:

Nhóm chứa $Q_1^A$ là $[60;70)$. $Q_1^A = 60 + \frac{{25 - 8}}{{20}} \cdot 10 = 68{,}5$.

Nhóm chứa $Q_2^A$ là [70 ; 80).$Q_2^A = 70 + \frac{{50 - 28}}{{50}} \cdot 10 = 74{,}4$.

Nhóm chứa $Q_3^A$ là [70 ; 80).$Q_3^A = 70 + \frac{{75 - 28}}{{50}} \cdot 10 = 79{,}4$.

Vậy $\Delta _Q^A = 79{,}4 - 68{,}5 = 10{,}9$.

- Gọi $Q_1^B,Q_2^B,Q_3^B$ là các tứ phân vị và $\Delta _Q^B$ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về điểm của lớp B. Ta lập bảng tần số tích luỹ và tính được:

Nhóm chứa $Q_1^B$ là $[60;70)$. $Q_1^B = 60 + \frac{{25 - 15}}{{20}} \cdot 10 = 65$.

Nhóm chứa $Q_2^B$ là [70 ; 80).$Q_2^B = 70 + \frac{{50 - 35}}{{30}} \cdot 10 = 75$.

Nhóm chứa $Q_3^B$ là [80 ; 90).$Q_3^B = 80 + \frac{{75 - 65}}{{20}} \cdot 10 = 85$.

Vậy $\Delta _Q^B = 85 - 65 = 20$.

c) $\Delta _Q^B > \Delta _Q^A$ nên điểm của lớp $B$ phân tán hơn điểm của lớp $A$. Minh hoạ trên trục số: Mỗi mẫu đều có 100 số liệu thuộc khoảng $[50;100)$. Có $50\%$ số liệu ở giữa của bảng điểm lớp $B$ thuộc khoảng $\left( {Q_1^B,Q_3^B} \right)$. Bảng điểm lớp $A$ cũng có $50\%$ số liệu ở giữa thuộc khoảng $\left( {Q_1^A,Q_3^A} \right)$. Vì $\left( {Q_1^A,Q_3^A} \right) \subset \left( {Q_1^B,Q_3^B} \right)$ nên ta có thể nói là điểm của lớp ${\rm{B}}$ phân tán hơn so với điểm lớp ${\rm{A}}$.

a) Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38$. Gọi ${x_1}, \ldots ,{x_{38}}$ là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{10}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $[5;10)$ và ta có: ${Q_1} = 5 + \left[ {\frac{{\frac{{38}}{4} - 3}}{{12}}} \right] \cdot 5 \approx 7{,}71$

Tứ phân vị thứ ba của mã̃u số liệu gốc là ${x_{29}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [10 ; 15) và ta có: ${Q_3} = 10 + \left[ {\frac{{\frac{{3 \cdot 38}}{4} - 15}}{{15}}} \right] \cdot 5 = 14{,}5$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 14{,}5 - 7{,}71 = 6{,}79$.

b) Do ${\Delta _Q} = 6{,}79 < 9{,}23$ nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $Y$ phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $X$.