14 bài tập Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K (có lời giải)

Ta có ${F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Ta có ${G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)$ với mọi $x$ thuộc $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Vậy $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)$ trên $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Ta có: ${F^\prime }(x) = {x^2} - 2x,{G^\prime }(x) = {x^2} + 2x$.

Vì ${F^\prime }(x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $G(x)$ không là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ vì với $x = 1$, ta có

${G^\prime }(1) = 3 \ne - 1 = f(1){\rm{. }}$

Do ${\left( {\frac{k}{2}{x^2}} \right)^\prime } = kx$ nên $\frac{k}{2}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = kx$ trên $\mathbb{R}$.

Vậy $\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C(k \ne 0)$.