13 Bài tập Xác định tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số y = f(x) = cos x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = cos(–x) = cos x = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = f(x) = x sin x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = (– x) sin (– x) = xsinx = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = xsinx là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+) Xét đáp án A: đặt y = g(x) = 2x$^{2}$ + x.

Ta có: g(– x) = 2 ∙ (–x)$^{2}$ + (– x) = 2x$^{2}$ – x.

Ta thấy g(– x) ≠ g(x) và g(– x) ≠ – g(x), do vậy y = 2x$^{2}$ + x không chẵn, không lẻ.

+) Hàm số $y=\frac{s\text{inx}}{x}$ và y = xtan2x là hàm số chẵn trên tập xác định D của nó với D ≠ ℝ.

Do đó, loại đáp án B và D.

+) Xét hàm số y = f(x) = sin$^{2}$ x:

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin$^{2}$(– x) = [– sin x]$^{2}$ = sin$^{2}$x = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = sin$^{2}$x là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y=f(x)=\frac{s{\text{in}}^{5}\text{x}}{x}$:

Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{0}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: $f(-x)=\frac{{\sin }^{5}(-x)}{(-x)}=\frac{{\sin }^{5}x}{x}=f(x)$, ∀x ∈ D.

Vậy $y=\frac{s{\text{in}}^{5}\text{x}}{x}$ là hàm số chẵn trên D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Hàm số y = 1 là hàm chẵn trên ℝ.

+) Hàm số y = |x| tan$^{2}$x là hàm chẵn trên $D=ℝ\backslash \{\frac{π}{2}+kπ|k\in ℤ\}$.

+) Các hàm số y = sin2x; y = xcosx là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét từng mệnh đề:

i) Trên ℝ, y = sin2x có tập giá trị là [–1; 1]. Vậy i) đúng.

ii) Trên $[0;\frac{π}{2}]$, y = sinx có tập giá trị là [0; 1]. Vậy ii) sai.

iii) Xét hàm số y = f(x) = xsinx.

Tập xác định của hàm số y = xsinx là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = (–x)sin(–x) = xsinx = f(x), ∀x ∈ D.

Vậy y = xsinx là hàm số chẵn. Do đó iii) đúng.

iv) Xét hàm số y = g(x) = x sin$^{2}$x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: g(–) = (– x) sin$^{2}$(– x) = – x sin$^{2}$ x = – g(x), ∀x ∈ D.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Do đó iv) đúng.

Do đó có 3 mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = sinx có tập xác định là ℝ và với mọi số thực x, ta có:

x – 2π ∈ ℝ, x + 2π ∈ ℝ,

sin(x + 2π) = sin x.

Vậy y = sinx là hàm số tuần hoàn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2π}{2}=π$.

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π.

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2π}{2}=π$.

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π.

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = 1 – 5cos2x tuần hoàn với chu kì $\frac{2π}{2}=π$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = 2π.

Hàm số $y=\tan \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì T$_{2}$ = 3π.

Vậy hàm số $y=\sin x+\tan \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì T = 6π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = 4sinxcosx + 5 = 2sin2x + 5.

Vậy hàm số y = 4sinxcosx + 5 tuần hoàn với chu kì $\frac{2π}{2}=π$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+ Hai hàm số y = 2cosx và $y=\cot \frac{x}{2}$ có cùng chu kì tuần hoàn là 2π.

+ Hàm số y = –3sinx có chu kì là 2π, hàm số y = tan2x có chu kì là $\frac{π}{2}$.

+ Hai hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ và $y=\cos \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là 4π.

+ Hai hàm số y = 2tan(2x – 10) và y = cot (2x – 10) có cùng chu kì là $\frac{π}{2}$.