13 Bài tập Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = 120^\circ$.

Ta có: $\widehat {MOy} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

Ta tính được tọa độ điểm M: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - \left( {OM.\sin 30^\circ } \right) = - \left( {1.\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\\{y_0} = OM.\cos 30^\circ = 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$.

Hay $M\left( { - \frac{1}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Vậy theo định nghĩa ta có:

$\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}$; $\tan 120^\circ = - \sqrt 3 ;\,\cot 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

cos135° = cos(180° – 45°) = – cos45° = $- \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

$\tan 135^\circ = \frac{{\sin 135^\circ }}{{\cos 135^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = - 1$.

Do đó cot135° = $\frac{{cos135^\circ }}{{\sin 135^\circ }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = - 1$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\widehat F = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat E} \right) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Do đó sinF = sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = $\frac{1}{2}$;

cosF = cos150° = cos(180° − 30°)= − cos30° = $- \frac{{\sqrt 3 }}{2}$;

tanF = $\frac{{\sin 150^\circ }}{{\cos 150^\circ }} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$;

cotF = $\frac{{cos150^\circ }}{{\sin 150^\circ }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}}$= $- \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có sin120° = sin(180° – 60°) = sin60°$= \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

cos120° = cos(180° – 60° ) = – cos60° $= - \frac{1}{2}$.

Do đó $\tan 120^\circ = \frac{{\sin 120^\circ }}{{\cos 120^\circ }} = - \sqrt 3$;

$\cot 120^\circ = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có sin60° = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$; cos60° = $\frac{1}{2}$; tan60° =$\sqrt 3$; cot60° =$\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: tan135° = – tan(180° – 45°) = – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

sin 0° = 0;

cos 90° = 0;

cos 0° = 1;

sin 90° = 1 nên đáp án D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có sin A = sin 45° = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$, suy ra đáp án sai là A.

cos A = cos 45° = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

tan A = tan 45° = 1;

cot A = cot 45° = 1.

Vậy các đáp án B, C, D đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có sin (180° – α) = sin α = $\frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$, mà $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản nên a = 1, b = 2.

Vậy a + b = 1 + 2 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có $\widehat B = 60^\circ$ nên sin B = sin 60° = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$; cos B = cos 60° = $\frac{1}{2}$ nên A, B sai.

Lại có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ$ (áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác).

Do đó sin C = sin 30° = $\frac{1}{2}$; cos C = cos 30° = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy C đúng, D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Do đó $\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: cos90° = 0 nên A = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Từ hình vẽ ta thấy điểm M có tọa độ $\left( { - \frac{1}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} = - \sqrt 3$.