13 bài tập Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox (có lời giải)

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45$^{0}$ nên mặt cắt là tam giác vuông cân.

Do đó diện tích của mặt cắt là: $S(x) = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 2 - \frac{1}{2}{x^2}$

Thể tích vật thể là: $V = \int_{ - 2}^2 {\left( {2 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}$

Ta có OABC là hình thang vuông, có đường cao OC nằm trên trục Ox .

Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox ta được khối tròn xoay là khối nón cụt, có bán kính đáy bé ${r_1} = OA = 1$, bán kính đáy lớn ${r_2} = BC = 2$ và chiều cao $h$ $= OC = 2$.

Thể tích cần tính là: $V = \frac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + {r_1}{r_2} + r_2^2} \right)h = \frac{1}{3}\pi \left( {{1^2} + 1 \cdot 2 + {2^2}} \right) \cdot 2 = \frac{{14\pi }}{3}$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có $O(0;0),B(h;r)$.

Ta có OB là đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên OB : ${\rm{y}} = {\rm{ax}}$.

Mà OB đi qua điểm B nên ${\rm{r}} = {\rm{ah}} \Rightarrow a = \frac{r}{h}$.

Do đó OB: $y = \frac{r}{h}x$.

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{r}{h}x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng ${\rm{x}} = {\rm{h}}$ quanh trục Ox ta được khối nón có chiều cao h và bán kính r.

Do đó thể tích của khối nón là: $V = \pi \int_0^h {{{\left( {\frac{r}{h}x} \right)}^2}} dx = \left. {\frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^h = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$

Chọn trục Ox trùng với đường cao của hình chóp đều như hình vẽ, sao cho mặt đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại ${\rm{x}} = 0$.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0 \le x \le h)$ cắt hình chóp đều theo mặt cắt là hình vuông đồng dạng với đáy của hình chóp theo tỉ số $\frac{x}{h}$.

Do đó $\frac{{S(x)}}{{{a^2}}} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \Rightarrow S(x) = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}$.

Do đó thể tích khối chóp tứ giác đều là: $V = \int_0^h {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}} {x^2}dx = \left. {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{a^2}h$

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có ${\rm{r}} = 2$ là: $y = \sqrt {4 - {x^2}}$

Thể tích cần tính là: $V = \pi \int_{ - 1}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \pi \left( {\frac{{11}}{3} + \frac{{11}}{3}} \right) = \frac{{22\pi }}{3}$

a) Xét tam giác OAB vuông tại A , có ${\rm{AB}} = {\rm{OA}}$. tana = a.tana.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy ${\rm{r}} = {\rm{AB}} = {\rm{a}}$.tana và chiều cao ${\rm{h}} = {\rm{OA}} = {\rm{a}}$.

Do đó $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha$

b) Có ${V^\prime } = \frac{1}{3}\pi {a^3} \cdot 2\tan \alpha \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

Vi $0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} = > 0 <$ tan $\alpha \le 1$ nên ${V^\prime } > 0$. Do đó $V$ là hàm số đồng biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}$

Vậy $\alpha = \frac{\pi }{4}$ thì thể tích khối nón là lớn nhất.