12 bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn có lời giải

Đáp án đúng là: A

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì có 1 điểm chung duy nhất.

Đáp án đúng là: D

Hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là 0.

Đáp án đúng là: C

Hai đường tròn (O; R) và (O*'*; r) có (R > r) cắt nhau.

Khi đó (O) và (O*'*) có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.

Hệ thức liên hệ R – r < d < R + r.

>

Đáp án đúng là: D

Vì OA là tiếp tuyến của (O*') nên ∆OAO'* vuông tại A.

Vì (O) và (O*') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO'* là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO*'* là I thì AB ⊥ OO*'* tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO*'*O có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ$, $\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO*'*O (g.g) suy ra $\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}$

hay IA = $\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{8.6}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{48}}{{10}}$ = 4,8 cm.

Do đó, AB = 2AI = 9,6 cm.

Đáp án đúng là: B

Vì OA là tiếp tuyến của (O*') nên ∆OAO'* vuông tại A.

Vì (O) và (O*') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO'* là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO*'* là I thì AB ⊥ OO*'* tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO*'*O có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ$, $\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO*'*O (g.g) suy ra $\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}$

hay IA = $\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{2.6}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{2\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}$ cm.

Do đó, AB = 2AI = $\frac{{6\sqrt {10} }}{5}$ cm.

Đáp án đúng là: D

Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO*'* = AO – $\frac{{AO}}{2}$ = R – r nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O*') có OA là đường kính và C ∈ (O'*) nên ∆ACo vuông tại C suy ra OC vuông góc với AD.

Xét đường tròn (O) có OA = OD suy ra ∆OAD cân tại O có OC là đường cao cùng là đường trung tuyến nên CD = AC.

Do đó chọn B.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9

Cho (O$_{1}$; 3 cm) tiếp xúc với (O$_{2}$; 1 cm) tại A. Vẽ bán kính O$_{1}$B và O$_{2}$C song song với nhau cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ O$_{1}$O$_{2}$. Gọi D là giao điểm của BC và O$_{1}$O$_{2}$.

Đáp án đúng là: A

Xét (O$_{1}$) có O$_{1}$B = O$_{1}$A nên ∆O$_{1}$AB cân tại O$_{1}$, suy ra $\widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}$.

Xét (O$_{2}$) có O$_{2}$C = O$_{2}$A nên ∆O$_{2}$AC cân tại O$_{1}$, suy ra $\widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}$.

Lại có O$_{1}$B ∕∕ O$_{2}$C nên $\widehat {{O_1}BC} + \widehat {{O_2}CB}$ = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat {{O_2}CB} - \widehat {{O_1}BC} = 180^\circ$.

2($\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}$) = 180°.

Suy ra $\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}$ = 90° suy ra $\widehat {CAB} = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆O$_{1}$BD có O$_{1}$B ∕∕ O$_{2}$C nên theo hệ quả định lí Thelès ta có:

$\frac{{{O_2}D}}{{{O_1}D}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{{{O_2}{O_1}}}{{{O_1}D}} = \frac{2}{3}$.

Mà O$_{1}$O$_{2}$ = O$_{1}$A + O$_{2}$A = 3 + 1 = 4 suy ra O$_{1}$D = $\frac{3}{2}{O_2}{O_1}$ = 6 cm.

Đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có: AO = $\frac{{AB}}{2}$ = 12 cm.

Theo định lí Pythagore, ta có: OI$^{2}$ = OA$^{2}$ – AI$^{2}$ = 256 suy ra IO = 16 cm.

$O'I = \sqrt {O'{A^2} - I{A^2}} = 9$ cm.

Do đó, OO*'* = OI – O*'*I = 16 – 9 = 7 cm.

Nhận thấy OI = 4 < 11,5 – 6,5.

Do đó, đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (I; 6,5 cm).

a) Xét tam giác OBD có OB = OD = BD = R nên tam giác OBD đều.

suy ra $\widehat {OBD} = \widehat {ODB} = 60^\circ$ suy ra tia BC là tia phân giác của $\widehat {OBD}$

suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {OBD} = 30^\circ$.

Ta có: B ∈ (O) nên $\widehat {ABD} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {{B_3}} = 30^\circ$.

b) Xét tứ giác OBDC có OB = OC = DC = DB = R (giả thiết) nên OBDC là hình thoi

Suy ra OD ⊥ BC tại I, suy ra IB = IC.

Xét tam giác ABC có AI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABC cân tại A.

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ$ suy ra tam giác ABC đều.