12 bài tập Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có lời giải

Đáp án đúng là: B

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Đáp án đúng là: D

Gọi H là giao điểm của BC với AO.

Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất).

Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay AO ⊥ BC tại H là trung điểm của BC.

Chưa thể kết luận H có là trung điểm của AO hay không nên D sai.

Đáp án đúng là: D

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC, $\widehat {BAO} = \widehat {CAO}$,

$\widehat {BOA} = \widehat {COA}$.

Xét ∆ABO vuông tại B có OB = 3 cm, OA = 5 cm, theo định lí Pythagore ta có:

AB = $\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = 4$ cm.

Nên AC = AB = 4 cm hay đáp án A đúng.

Xét tam giác AOB vuông tại B có sin$\widehat {ABO}$ = $\frac{{AB}}{{OA}} = \frac{4}{5}$ nên C đúng.

Mà $\widehat {BOA} = \widehat {COA}$ nên sin$\widehat {COA}$ = $\frac{4}{5}$ do đó D sai.

Đáp án cần chọn là D.

Đáp án đúng là: A

Gọi R là bán kính của (O).

Xét (O) có MA = MB, $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Nên $\widehat {AMO} = 60^\circ$.

Xét tam giác vuông AOM có AM = AO.cot$\widehat {AMO}$ = $\frac{{R\sqrt 3 }}{3}$.

nên MA = MB = $\frac{{R\sqrt 3 }}{3}$.

Lại có $\widehat {AOB} + \widehat {AMB} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ$ suy ra tam giác AOB đều

hay AB = OB = OA = R.

Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = $\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right)$.

Mà chu vi tam giác MAB bằng 6(3 + 2$\sqrt 3$) nên

$R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right) = 6(3 + 2\sqrt 3 )$ suy ra R = 18 cm hay AB = 18 cm.

Đáp án đúng là: B

Gọi R là bán kính của (O).

Xét (O) có MA = MB, $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: $\widehat {AMB} = 60^\circ$ nên tam giác ABM đều.

Do đó, chu vi tam giác ABM là: MA + MB + AB = 3AB = 24 suy ra AB = 8 cm.

Lại có $\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = 30^\circ$.

Xét tam giasv AMO vuông tại A có tan$\widehat {AMO}$ = $\frac{{OA}}{{MA}}$

suy ra OA = MA.tan30° = $\frac{{8\sqrt 3 }}{3}$ cm.

Xét (O) có IA, IB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I nên $\widehat {AOI} = \widehat {KOI}$.

Mà OA ∕∕ KI (vì cùng vuông góc với AI) nên $\widehat {AIO} = \widehat {KIO}$ (so le trong)

Từ đó $\widehat {KIO} = \widehat {KOI}$ suy ra ∆KOI cân tại K suy ra KI = KO.

Đáp án đúng là: D

Xét nửa đường tròn (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là tia phân giác của $\widehat {MOA}$ do đó $\widehat {AOC} = \widehat {COM}$.

Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của $\widehat {MOB}$ do đó $\widehat {DOB} = \widehat {DOM}$.

Từ đó $\widehat {AOC} + \widehat {BOD} = \widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{{\widehat {AOC} + \widehat {BOD} + \widehat {COM} + \widehat {MOD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Nên $\widehat {COD} = 90^\circ$ hay tam giác COD vuông tại O và $\widehat {MDO} = \widehat {MOC}$.

Xét ∆CMO và ∆OMD có $\widehat {MDO} = \widehat {MOC}$ và $\widehat {DMO} = \widehat {OMC} = 90^\circ$.

Do đó ∆CMO ∽ ∆OMD (g.g) suy ra $\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MO}}{{MD}}$ hay MO$^{2}$ = MC.MD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDO ta có:

BD = $\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = R\sqrt 3$.

Mà MD = BD; MC = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = $R\sqrt 3$.

MÀ MO$^{2}$ = MC.MD (cmt) nên MC = $\frac{{O{M^2}}}{{MD}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}$ nên AC = $\frac{{R\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy BD = $R\sqrt 3$ và AC = $\frac{{R\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Có AB = 2R = 10 cm suy ra R = 5 cm.

Từ câu 9, có MC.MD = OM$^{2}$ = R$^{2}$ = 25 cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOD, ta có:

BD = $\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39}$ cm.

Mà MD = BD, MC = AC (tính chất hia tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = $\sqrt {39}$ cm.

Ta có: MC.MD = OM$^{2}$ = OB$^{2}$ = 25 suy ra MC = $\frac{{25}}{{MD}} = \frac{{25}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}$.

Do đó, AC = MC = $\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}$.

Vậy BD = $\sqrt {39}$ và AC = $\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}$.

Ta có: BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B nên: BA = BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó 4x – 9 = 15 hay 4x = 24 suy ra x = 6.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$\widehat {EMO} = \widehat {OMF} = 30^\circ$, suy ra $\widehat {EMF} = 60^\circ$.

Tam giác EMF có EM = MF (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) và $\widehat {EMF} = 60^\circ$.

Suy ra ∆EMF đều.

Do đó, ME = EF = FM = 30 : 3 = 10 cm.

b) Gọi I là giao điểm của EF và OM.

Xét tam giác IEM vuông tại I, ta có: IM = EM.cos $\widehat {EMO}$ = 10.cos30° = $5\sqrt 3$ cm.

Diện tích tam giác MEF là: $\frac{1}{2}$.EF.MI = $25\sqrt 3$ cm$^{2}$.