12 bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

tanB = $\frac{5}{{12}}$ hay $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$ suy ra AC = $\frac{5}{{12}}$.BA = 12,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

30$^{2}$ + 12,5$^{2}$ = BC$^{2}$

Suy ra BC =32,5 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

cotB = $\frac{5}{8}$ hay $\frac{{CB}}{{AC}} = \frac{5}{8}$ suy ra CB = $\frac{5}{8}$AC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được:

CB$^{2}$ + CA$^{2}$ = AB$^{2}$

$\frac{{25}}{{64}}$AC$^{2}$ + AC$^{2}$ = 5$^{2}$

Suy ra $\frac{{89}}{{64}}$AC$^{2}$ = 5$^{2}$, do đó AC ≈ 4,24 cm.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 3, 4.

Cho tam giác ABC có $\widehat B = 38^\circ ,\widehat C = 30^\circ$ và BC = 11 cm. Gọi N là chân đường cao vuông góc từ A xuống BC.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABN vuông tại N, ta có: AN = tan38°.NB hay BN = $\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}$.

Xét tam giác ANC vuông tại N, ta có: AN = tan30°.NC hay NC = $\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}$.

Mà BC = BN + NC = $\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}$ + $\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}$ = AN.$\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)$

Suy ra AN = $\frac{{BC}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)}} = \frac{{11}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}}} \approx 3{,}65$ cm.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác vuông ANC vuông tại N, $\widehat C = 30^\circ$.

Ta có: AN = AC.sin 30°, suy ra $AC = \frac{{AN}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{3{,}65}}{{0{,}5}} = 7{,}3$ (cm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}AN.BC = \frac{1}{2}.3{,}65.11 = 20{,}075$ cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = 5.cot70° ≈ 1,82 cm.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

HC = AH.cot 35° = 5.cot 35° ≈ 7,14 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,82 + 7,14 = 8,96 cm.

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.5.8{,}96 = 22{,}4$ cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ADC vuông tại A, ta có: AC = AD.tan$\widehat {ADC}$ = 3,5.tan 50°.

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:

S = AD.AC = 3,5.3,5.tan 50° ≈ 14,6.

Đáp án đúng là: C

Ta có: S$_{ABH}$.S$_{ACH}$ = 54.96

Suy ra $\frac{1}{4}$AB$^{2}$.BH.CH = 54.96

AH$^{4}$ = 4.54.96 = 12$^{4}$

Suy ra AH = 12.

Lại có S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra BC = $\frac{{2{S_{ABC}}}}{{AH}} = \frac{{2\left( {54 + 96} \right)}}{{12}} = 25$ (cm).

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

Do ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra BH = HC = 4 cm.

Từ ∆ABH vuông tại H, ta có:

sin M = $\frac{{AH}}{{AM}}$ suy ra $AM = \frac{{AH}}{{\sin \widehat M}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{0{,}669}} \approx 10{,}34$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OPN vuông tại P nên ta có:

OP = ON.sin$\widehat N$ = 9.sin 38° ≈ 5,54 (cm).

NP = ON.cos$\widehat N$ = 9.cos 38° ≈ 7,09 (cm).

Xét tam giác OPM vuông tại P nên ta có:

MP = $\frac{{OP}}{{\tan \widehat M}} = \frac{{5{,}54}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5{,}54}}{{\sqrt 3 }} = 3{,}2$ (cm).

Ta có: MN = NP – MP = 7,09 – 3,2 – 3,89 (cm).

Do đó, S$_{OMN}$ = $\frac{1}{2}OP.MN = \frac{1}{2}.5{,}55.3{,}89 \approx 11$ cm$^{2}$.

Vì ∆ABC vuông tại A nên $\widehat A = 90^\circ$, suy ra $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$

Suy ra $\widehat C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

AB = cot $\widehat B$. AC = 12.cot 60° = 12. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$ = $4\sqrt 3$ ≈ 6,9 cm.

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = 12$^{2}$ + ($4\sqrt 3$)$^{2}$ = 192

Suy ra BC = $\sqrt {192} = 8\sqrt 3 \approx 13{,}9$ (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 .12 = 24\sqrt 3 \approx 41{,}6$ (cm$^{2}$)

Ta có: AB = BC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại B.

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = 40^\circ$.

Kẻ đường cao BH vuông góc với AC tại H.

Ta có: BH = sin 40°.AB = sin 40°. 3 ≈ 1,93 cm.

AH = cos 40°.AB = cos 40°. 3 ≈ 2,30 cm.

Do tam giác ABC cân tại B, có BH là đường cao nên H là trung điểm của AC.

Suy ra AC = 2AH = 4,6 cm.

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}.AC.BH = \frac{1}{2}.4{,}6.1{,}93 \approx 4{,}44$ cm$^{2}$.