12 bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có lời giải

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên

Ta có y' = 3x$^{2}$ – 6x; y' = 0 3x$^{2}$ – 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y$_{CĐ}$ = 4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y$_{CT}$ = 0.

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 4).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 4 = 0 x = −1 hoặc x = 2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (−1; 0) và (2; 0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 0), (2; 0), (0; 4) và (1; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 4 được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, ta thấy đồ thị đó có tâm đối xứng là điểm I(1; 2).

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên

$y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$ với mọi x ≠ 1.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty$. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đổ thị hàm số.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2$. Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; −1).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $( - 2;1),(2;5),\left( {\frac{5}{2};4} \right)$ và (4; 3).

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, đồ thị đó nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Ta có x$_{0}$ = 0 y$_{0}$ = 2.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: ℝ.

Ta có: y' = 3x$^{2}$ – 3 = 3(x$^{2}$ – 1); y' = 0 x = ± 1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x$^{2}$ + 2) = 0 x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Đáp án đúng là: B

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = - \infty$ nên loại C và D.

Đồ thị hàm số y = x$^{3}$ – 3x + 2 đi qua (−1; 4) nên chọn B.

Đáp án đúng là: A

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = + \infty$ suy ra loại đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1). Chọn A.

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3x$^{2}$ + 6x; y' = 0 x = 0 hoặc x = −2.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đáp án đúng là: A

Có $y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x + 1 ≠ 0 x ≠ −1.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1}.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D$.

Vậy hàm số f(x) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$

Và: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0$.

Suy ra: đường thẳng y = x + 2 là đường tiệm cận xiên của (C).

Đồ thị hàm số nhận x = −1 là tiệm cận đứng.

Do đó điểm I(−1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là đường thẳng x = 1, y = x + 3 do đó tâm đối xứng là I(1; 4).

Đáp án đúng là: C

Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) y = −5x – 3.

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra ${y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆$_{1}$: x – 1 = 0 và ∆$_{2}$: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{1}$: x – 1 = 0 là d$_{1}$ = |x$_{0}$ – 1|.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{2}$: y – 2 = 0 là

${d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$.

Suy ra ${d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5$ .