12 bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) có lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc (0 < x, y, giờ).

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người thợ cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{{16}}$ (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được một phần tư công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được $\frac{3}{x}$ + $\frac{3}{y}$ = $\frac{3}{{16}}$ (3)

Trừ theo vế (2) với (3) ta được $\frac{3}{y}$ = $\frac{1}{{16}}$ suy ra y = 48 (thỏa mãn).

Với y = 48 suy ra x = 24 (thỏa mãn).

Vậy thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ, người thợ thứ hai làm xong công việc là 48 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian tổ I hoàn thành công việc riêng là x (x > 0, giờ),

Thời gian tổ II hoàn thành công việc riêng là y (y > 0, giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Trong 1 giờ, cả 2 tổ làm được $\frac{1}{6}$ (công việc)

Nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Trong 10 giờ tổ I làm được $\frac{{10}}{x}$ (công việc).

Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình:

$2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{10}}{x} = 1$ hay $2.\frac{1}{6} + \frac{{10}}{x} = 1$ suy ra x = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\x = 15\end{array} \right.$

Thay x = 15 vào (1) suy ra y = 10 (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm một mình hoàn thành công việc là 15 giờ, tổ II làm một mình hoàn thành công việc là 10 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y là thời gian làm một mình để hoàn thành công việc của người thứ nhất và người thứ hai (0 < x, y, ngày).

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ (1).

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là $\frac{x}{2}$ ngày.

Thời gian người thứ hai làm một mình xong nửa công việc là $\frac{y}{2}$ ngày.

Do đó, ta có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9$ hay x + y = 18 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\x + y = 18\end{array} \right.$.

Từ phương trình (1) có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{{xy}}{{x + y}} = 4$ hay 4(x + y) = xy hay xy = 72.

Thay x = 18 – y vào xy = 72 ta được (18 – y)y = 72 suy ra y$^{2}$ – 18y + 72 = 0.

Suy ra y = 12 hoặc y = 6 (thỏa mãn).

Với y = 12 thì x = 6 .

Với y = 6 thì x = 12 .

Do người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai nên y = 6 và x = 12 thỏa mãn.

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày, và người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì hoàn thành công việc.

>

Đáp án đúng là: B

Đổi 1 giờ 12 phút = $\frac{6}{5}$ giờ, 12 phút = $\frac{1}{5}$ giờ, 15 phút = $\frac{1}{4}$ giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > $\frac{6}{5}$, giờ).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Hai vòi cùng chảy vào một bể thì sau $\frac{6}{5}$ giờ đầy nên ta có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ (1)

Nếu mở vòi thứ nhất trong 12 phút và vòi thứ hai trong 15 phút thì được $\frac{{11}}{{60}}$ bể nên ta có phương trình:

$\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{1}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{20y}} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.$

Suy ra y = 3 và x = 2 (thỏa mãn)

Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 3 giờ sẽ đầy bể.

Đáp án đúng là: A

Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 80, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 80 phút nên ta có phương trình: $80.\frac{1}{x} + 80.\frac{1}{y} = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}$ (1).

Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{{15}}$ bể nước nên ta có phương trình $\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{{10}}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.$

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được $\frac{2}{y} = \frac{1}{{120}}$ suy ra y = 240 (thỏa mãn).

Với y = 240 suy ra x = 120 (thỏa mãn).

Vậy nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất làm đầy bể sau 120 phút, vòi thứ hai làm đầy bể sau 240 phút.

Đáp án đúng là: C

Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút.

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 90, phút).

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 90 phút nên ta có phương trình: $90.\frac{1}{x} + 90.\frac{1}{y} = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}$ (1).

Nếu mở riêng vòi I trong 15 phút và vòi II trong 20 phút thì chỉ được $\frac{1}{5}$ nên ta có phương trình: $\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{225}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{150}}\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 225\\y = 150\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ I chảy một mình trong 225 phút = 3,75 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ II chảy một mình trong 150 phút = 2,5 giờ thì đầy bể.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 12, giờ).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ bể.

Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được số phần bể là: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}$ (1).

Hai vòi cùng chảy trong 8 giờ thì lượng nước chảy vào bể là: $\frac{8}{{12}}$ = $\frac{2}{3}$ bể.

Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi nên ta có phương trình: $3{,}5.\frac{2}{y} = 1 - \frac{2}{3}$ hay y = 21 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.$

Thay y = 21 vào (1) được x = 28 (thỏa mãn).

Vậy nếu chảy một mình thì thời gian vòi I chảy đầy bể là 28 giờ, vòi II là 21 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y là thời gian máy cày thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc ( x, y > 15, giờ).

Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, máy thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai máy cùng làm trong 15 giờ được $\frac{1}{6}$ công việc nên ta có phương trình:

$15\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{1}{6}$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}$ (1)

Theo đề, máy thứ nhất làm trong 12 giờ, máy thứ 2 làm trong 20 giờ thì được 20% công việc nên ta có phương trình: $\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{{12}}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ suy ra $\frac{8}{y} = \frac{1}{{15}}$ suy ra y = 120 (thỏa mãn)

Thay y = 120 vào (1) suy ra x = 360 (thỏa mãn).

Vậy máy thứ nhất làm trong 360 giờ sẽ xong việc, máy thứ hai làm trong 120 giờ sẽ xong công việc.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian tổ I và tổ II làm một mình xong công việc (0 < x, y < 6).

Trong 1 giờ tổ I làm được $\frac{1}{x}$ công việc, tổ II làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Do đó, ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Hai tổ làm chung trong 5 giờ được số phần công việc là: $5\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{5}{6}$ (công việc)

Phần công việc còn lại là 1 – $\frac{5}{6}$ = $\frac{1}{6}$ (công việc)

Do cải tiến cách làm nên năng suất của tổ I tăng 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ do đó ta có: $2.\frac{{1{,}5}}{x} = \frac{1}{6}$ suy ra x = 18 (thỏa mãn).

Với x = 18 thì y = 9 (thỏa mãn).

Vậy tổ II làm một mình xong công việc trong 9 giờ.

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (x, y > $\frac{{20}}{7}$)

Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, máy thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Nếu cả hai người cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực thực phẩm lên tàu bằng $\frac{{20}}{7}$ giờ nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}$ (1)

Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất 3 giờ vì thế ta có phương trình: $\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3$ hay y – x = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\begin{array}{l}\left\{ {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}} \right.\\y - x = 6\end{array}$

Thế y = 6 + x vào (1) ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{6 + x}} = \frac{7}{{20}}$ suy ra 20.(2x + 6) = 7x(x + 6)

Suy ra 7x$^{2}$ + 2x – 120 = 0 suy ra x = 4 (thỏa mãn) hoặc x = $- \frac{{30}}{7}$ (loại).

Với x = 4 thì y = 10 (thỏa mãn).

Vậy người thứ hai chuyển hết đồ lên tàu hết 10 giờ.

Gọi x, y lần lượt là số ngày để đổi I và đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình (x, y > 0).

Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và đội II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình $\frac{1}{x}$ = 1,5.$\frac{1}{y}$ hay

$\frac{1}{x}$ = $\frac{3}{2}.\frac{1}{y}$ (1).

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung được $\frac{1}{{24}}$ (công việc). Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{3}{2}.\frac{1}{y}\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\end{array} \right.$

Đặt u = $\frac{1}{x}$ và v = $\frac{1}{y}$ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v như sau:

$\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{3}{2}v\\u + v = \frac{1}{{24}}\end{array} \right.$

Thế u = $\frac{3}{2}$v vào phương trình u + v = $\frac{1}{{24}}$ được $\frac{3}{2}$v + v = $\frac{1}{{24}}$ hay $\frac{5}{2}$v = $\frac{1}{{24}}$ suy ra

v = $\frac{1}{{60}}$.

Do đó, u = $\frac{3}{2}$v = $\frac{3}{2}$.$\frac{1}{{60}}$ = $\frac{1}{{40}}$.

Từ đó, ta có: u = $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{{40}}$ suy ra u = 40; v = $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{{60}}$ suy ra y = 60.

Các giá trị tìm được của x và y đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày.

Gọi x, y lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (x, y > 0, giờ).

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người làm chung 18 giờ thì xong, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}$ (1).

Nếu người thứ nhất làm trong 6 giờ và người thứ hai làm trong 12 giờ thì hoàn thành 50% công việc (tức là $\frac{1}{2}$ công việc) nên ta có phương trình: $\frac{6}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{6}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Thế $\frac{1}{x} = \frac{1}{{18}} - \frac{1}{y}$ vào phương trình (2) ta được:

6. $\left( {\frac{1}{{18}} - \frac{1}{y}} \right)$ + $\frac{{12}}{y}$ = $\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{6}{y} = \frac{1}{6}$ hay y = 36 (thỏa mãn).

Thay y = 36 vào phương trình (1) được = 36 (thỏa mãn).

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 36 giờ, người thứ hai hoàn thành công việc trong 36 giờ.